как находить НОК
Кратко
НОК двух чисел — это наименьшее положительное число, которое делится на каждое из них без остатка. Универсальный способ: разложить числа на простые множители и взять каждый множитель в наибольшей встретившейся степени.
Способ 1. Через разложение на простые множители (основной)
Пример: найти \(\text{НОК}(12, 18)\).
Шаг 1. Раскладываем каждое число: \[ 12 = 2^{2}\cdot 3,\qquad 18 = 2\cdot 3^{2} \]
Шаг 2. Выписываем каждый простой множитель в наибольшей степени, которая встретилась:
- двойка: максимум \(2^{2}\) (из 12);
- тройка: максимум \(3^{2}\) (из 18).
Шаг 3. Перемножаем: \[ \text{НОК}(12,18) = 2^{2}\cdot 3^{2} = 4\cdot 9 = 36 \]
Способ 2. Через НОД (быстро, если НОД виден)
\[ \text{НОК}(a,b) = \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a,b)} \]
Для тех же чисел: \(\text{НОД}(12,18)=6\), значит \[ \text{НОК}(12,18) = \frac{12\cdot 18}{6} = 36 \]
Полезное следствие: если числа взаимно простые (НОД = 1), то НОК равен их произведению, например \(\text{НОК}(8,9)=72\).
Способ 3. Перебор кратных (для небольших чисел)
Берём кратные большего числа и проверяем, делятся ли они на меньшее. \(\text{НОК}(6,8)\): кратные 8 — это 8, 16, 24; на 6 делится только 24. Ответ: 24.
Если чисел три и больше
Считаем по цепочке: \[ \text{НОК}(a,b,c) = \text{НОК}\bigl(\text{НОК}(a,b),\, c\bigr) \] Например, \(\text{НОК}(4,6)=12\), тогда \(\text{НОК}(4,6,10)=\text{НОК}(12,10)=60\).
Как проверить себя
- Результат делится на каждое данное число без остатка.
- Результат не больше произведения чисел (НОК ≤ \(a\cdot b\)).
- Если получилось произведение, а числа не взаимно простые — значит, потеряли общий множитель, ответ завышен.
