как найти нок

Коротко: НОК двух чисел — это наименьшее число, которое делится на каждое из них без остатка. Универсальный способ: разложить числа на простые множители и взять каждый множитель в наибольшей степени, с какой он встречается.

Шаги

1. Разложить каждое число на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые встречаются хотя бы у одного.
3. Для каждого взять максимальную степень.
4. Перемножить.

Пример: \(\text{НОК}(12, 18)\) \[12 = 2^2 \cdot 3, \qquad 18 = 2 \cdot 3^2\] Максимальные степени: \(2^2\) и \(3^2\), значит \[\text{НОК}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36.\] Проверка: \(36 : 12 = 3\) и \(36 : 18 = 2\) — оба деления нацело. Меньше быть не может: среди кратных 18 это 18 и 36, но 18 на 12 не делится.

Второй способ — через НОД: \[\text{НОК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)}.\] НОД находят алгоритмом Евклида: делят с остатком, затем делитель — на остаток, и так до нуля. Пример для \(48\) и \(180\): \[180 = 3 \cdot 48 + 36, \quad 48 = 1 \cdot 36 + 12, \quad 36 = 3 \cdot 12 + 0,\] значит \(\text{НОД} = 12\), а \(\text{НОК} = \frac{48 \cdot 180}{12} = 4 \cdot 180 = 720\). Проверка: \(720 : 48 = 15\), \(720 : 180 = 4\).

Полезные частные случаи

• Числа взаимно простые (НОД = 1): НОК равно их произведению, например \(8 \cdot 15 = 120\).
• Одно число делится на другое: НОК равно большему, например \(\text{НОК}(6, 24) = 24\).
• Три числа и больше: принцип тот же. Для \(6, 8, 10\): \(6 = 2 \cdot 3\), \(8 = 2^3\), \(10 = 2 \cdot 5\), поэтому \(\text{НОК} = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120\).

Почему это работает: общее кратное должно делиться на каждое число, то есть содержать все простые множители каждого числа в достаточных степенях. Максимальные степени как раз дают наименьшее такое число — уменьшить любую степень нельзя, иначе пропадёт делимость.