138 и 139
Сверь числа и знаки с фото.
- Мотоциклист едет первую половину пути со скоростью 90 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость мотоцикла на всём пути.
- Средняя скорость велосипедиста на всём пути равна 40 км/ч. Первую половину пути он ехал со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью велосипедист проехал остаток пути?
Кратко
- № 138: \(78{,}75\) км/ч
- № 139: \(30\) км/ч
Главный принцип. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время: \[ v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}. \] Если половины пути равны, то \[ v_{\text{ср}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}. \] Считать просто \((v_1+v_2)/2\) нельзя: на медленном участке времени больше, поэтому средняя скорость смещается к меньшей скорости.
№ 138. Пусть каждая половина пути равна \(s\). Тогда \[ t_1=\frac{s}{90},\qquad t_2=\frac{s}{70}. \] \[ v_{\text{ср}}=\frac{2s}{\frac{s}{90}+\frac{s}{70}} =\frac{2}{\frac{1}{90}+\frac{1}{70}} =\frac{2\cdot90\cdot70}{90+70} =\frac{12600}{160} =78{,}75\ \text{км/ч}. \]
Проверка: пусть каждая половина пути \(630\) км. Тогда время \(7\) ч и \(9\) ч, весь путь \(1260\) км, всё время \(16\) ч: \[ v_{\text{ср}}=\frac{1260}{16}=78{,}75\ \text{км/ч}. \]
№ 139. Пусть скорость на второй половине пути равна \(x\) км/ч. Половины пути снова равны: \[ 40=\frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{x}}. \] \[ \frac{1}{60}+\frac{1}{x}=\frac{2}{40}=\frac{1}{20}. \] \[ \frac{1}{x}=\frac{1}{20}-\frac{1}{60} =\frac{3}{60}-\frac{1}{60} =\frac{2}{60} =\frac{1}{30}. \] Значит, \[ x=30\ \text{км/ч}. \]
Проверка: пусть весь путь \(120\) км, тогда каждая половина по \(60\) км. Время — \(1\) ч и \(2\) ч, всего \(3\) ч: \[ \frac{120}{3}=40\ \text{км/ч}. \] Всё сходится.
Обсуждение
4 сообщения138 и 139
138 и 139
Задача 138
Ответ: 78,75 км/ч (≈ 79 км/ч).
Пусть весь путь равен \(2S\), тогда каждая половина — \(S\).
Время на первой половине: \[ t_1=\frac{S}{90} \] Время на второй половине: \[ t_2=\frac{S}{70} \]
Общее время: \[ t=\frac{S}{90}+\frac{S}{70}=S\left(\frac{7+9}{630}\right)=\frac{16S}{630} \]
Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время (именно та формула, что на доске): \[ v_{\text{ср}}=\frac{2S}{t}=\frac{2S}{\frac{16S}{630}}=\frac{2\cdot 630}{16}=78{,}75\ \text{км/ч} \]
Обрати внимание: средняя скорость не равна среднему арифметическому \((90+70)/2=80\) км/ч — на медленном участке мотоциклист едет дольше, поэтому результат чуть меньше.
Задача 139
Ответ: 30 км/ч.
Пусть весь путь \(2S\), первая половина \(S\) пройдена со скоростью \(60\) км/ч, вторая — со скоростью \(v\).
По определению средней скорости: \[ v_{\text{ср}}=\frac{2S}{\frac{S}{60}+\frac{S}{v}}=40 \]
Сокращаем на \(S\): \[ \frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{v}}=40 \] \[ \frac{1}{60}+\frac{1}{v}=\frac{1}{20} \] \[ \frac{1}{v}=\frac{1}{20}-\frac{1}{60}=\frac{3-1}{60}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30} \] \[ v=30\ \text{км/ч} \]
Проверка: пусть путь \(120\) км (по \(60\) км на половину). Первая половина: \(60:60=1\) ч, вторая: \(60:30=2\) ч. Всего \(3\) ч на \(120\) км — ровно \(40\) км/ч. ✔
Главная идея обеих задач: средняя скорость всегда считается как \(\dfrac{\text{весь путь}}{\text{всё время}}\), а не как среднее арифметическое скоростей. В задачах с равными половинами пути удобно пользоваться формулой \(v_{\text{ср}}=\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\).
По фото это те же задачи 138 и 139, что мы уже разбирали. Ответы не меняются:
- № 138: \(78{,}75\) км/ч
- № 139: \(30\) км/ч
Кратко повторю ход решения по формуле с доски: \[ v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}} =\frac{S_1+S_2}{t_1+t_2}. \]
№ 138. Пусть каждая половина пути равна \(s\) км. Тогда \[ t_1=\frac{s}{90},\qquad t_2=\frac{s}{70}. \] \[ v_{\text{ср}}=\frac{2s}{\frac{s}{90}+\frac{s}{70}} =\frac{2\cdot 90\cdot 70}{90+70} =\frac{12600}{160} =78{,}75\ \text{км/ч}. \]
№ 139. Пусть скорость на второй половине пути равна \(x\) км/ч. Средняя скорость \(40\) км/ч, значит: \[ 40=\frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{x}}. \] \[ \frac{1}{60}+\frac{1}{x}=\frac{2}{40}=\frac{1}{20}, \] \[ \frac{1}{x}=\frac{1}{20}-\frac{1}{60} =\frac{3}{60}-\frac{1}{60} =\frac{2}{60} =\frac{1}{30}. \] Отсюда \[ x=30\ \text{км/ч}. \]
Важно: средняя скорость здесь не равна среднему арифметическому скоростей. Например, в № 138 нельзя считать \((90+70):2=80\) км/ч — это была бы ошибка.
