Реши номер 523 с рисунком

Кратко: \[ h=10\sqrt{2}\ \text{см}\approx 14{,}1\ \text{см},\qquad S_{\text{осн}}=50\pi\ \text{см}^2\approx 157\ \text{см}^2. \]

Рисунок — схема осевого сечения:

A ┌───────────────┐ B
  │╲              │
  │  ╲            │
  │    ╲          │
  │      ╲        │
  │        ╲      │
D └──────────╲────┘ C

Осевое сечение — квадрат \(ABCD\). Его диагональ \(AC=20\) см, сторона квадрата равна и высоте цилиндра, и диаметру его основания.

Решение по шагам:

1. В осевом сечении цилиндра стороны равны: \[ h \quad \text{и} \quad 2r. \] Поскольку сечение — квадрат, то \[ h=2r=a. \]

2. Диагональ квадрата со стороной \(a\): \[ d=a\sqrt{2}. \] Значит, \[ 20=a\sqrt{2} \quad\Rightarrow\quad a=\frac{20}{\sqrt{2}}=10\sqrt{2}\ \text{см}. \]

3. Поэтому высота цилиндра: \[ h=a=10\sqrt{2}\ \text{см}. \]

4. Радиус основания: \[ r=\frac{a}{2}=5\sqrt{2}\ \text{см}. \]

5. Площадь основания: \[ S_{\text{осн}}=\pi r^2 =\pi\left(5\sqrt{2}\right)^2 =50\pi\ \text{см}^2. \]

Проверка:
\[ h^2+(2r)^2=(10\sqrt{2})^2+(10\sqrt{2})^2 =200+200=400=20^2, \] поэтому диагональ действительно 20 см.

Ответ:
а) \(10\sqrt{2}\) см, примерно \(14{,}1\) см;
б) \(50\pi\) см\(^2\), примерно \(157\) см\(^2\).