Выполняя приказ царя Гороха, генерал Мушталкин пытался выстроить всех солдат в ряды сначала по 2, а затем — по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Question

716

Расшифровка фото нейросетью:
716* Выполняя приказ царя Гороха, генерал Мушталкин пытался выстроить всех солдат в ряды сначала по 2, а затем — по 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, но, к его удивлению, каждый раз последний ряд оказывался неполным, так как оставалось соответственно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 солдат. Какое наименьшее число солдат могло быть?

Answer

Краткий ответ: 2519 солдат.

Пусть всего было $N$ солдат. Если при построении по $k$ человек в последнем ряду остаётся $k-1$ солдат, то до полного ряда не хватает ровно одного солдата. Значит, число $N+1$ должно делиться на каждое из чисел $2,3,\ldots,10$.

То есть $N+1$ — общее кратное чисел от 2 до 10. Наименьшее такое число — их НОК:

$$
\operatorname{НОК}(2,3,\ldots,10)=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520.
$$

Здесь $2^3$ взято из числа 8, $3^2$ — из 9, а 5 и 7 входят как есть.

Тогда:

$$
N=2520-1=2519.
$$

Проверка: $2520$ делится на все числа от 2 до 10, поэтому у числа $2519$ остатки при делении на них будут соответственно $1,2,3,\ldots,9$. Если добавить одного солдата, получится 2520, и все ряды станут полными.