1. \(\angle ABC > \angle CBD\) в 3 раза. Найти \(\angle ABC, \angle CBD\). 2. \(\angle ABC : \angle CBD = 2 : 1\). Найти \(\angle ABC, \angle CBD\). 3. \(BE\) — биссектриса.…

На фото три однотипных задания — решаю все.

Краткий ответ

1. \(\angle ABC=135^\circ,\ \angle CBD=45^\circ\).
2. \(\angle ABC=120^\circ,\ \angle CBD=60^\circ\).
3. \(\angle ABC=102^\circ,\ \angle CBD=78^\circ\); при этом \(\angle CBE=\angle EBD=39^\circ\).

В третьем пункте написано «63 см» — для угла это явная опечатка, считаю \(63^\circ\).

Почему так

Точки \(A,B,D\) лежат на одной прямой, значит углы \(\angle ABC\) и \(\angle CBD\) — смежные:

\[ \angle ABC+\angle CBD=180^\circ. \]

1. Пусть \(\angle CBD=x\), тогда \(\angle ABC=3x\):

\[ 3x+x=180^\circ \Rightarrow 4x=180^\circ \Rightarrow x=45^\circ. \]

Значит, \(\angle CBD=45^\circ,\ \angle ABC=135^\circ\).

2. Отношение \(2:1\) означает \(2\) части и \(1\) часть, всего \(3\) части:

\[ 180^\circ:3=60^\circ. \]

Поэтому \(\angle CBD=60^\circ,\ \angle ABC=120^\circ\).

3. По рисунку \(BE\) делит \(\angle CBD\) пополам. Пусть

\[ \angle CBE=x. \]

Тогда \(\angle CBD=2x\), а по условию \(\angle ABC=x+63^\circ\). Составляем уравнение:

\[ (x+63^\circ)+2x=180^\circ, \]

\[ 3x=117^\circ \Rightarrow x=39^\circ. \]

Значит:

\[ \angle ABC=39^\circ+63^\circ=102^\circ, \]

\[ \angle CBD=2\cdot 39^\circ=78^\circ. \]

Проверка: \(135^\circ+45^\circ=180^\circ\), \(120^\circ+60^\circ=180^\circ\), \(102^\circ+78^\circ=180^\circ\), а \(102^\circ-39^\circ=63^\circ\).