Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD и DC, если AB=14 см, BC=20 см, AC=21 см.

Краткий ответ: \(BD=8\) см, \(DC=12\) см.

Как решать:

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. \] Подставляем данные: \[ \frac{BD}{DC}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}. \] Значит, \(BD\) составляет 2 части, а \(DC\) — 3 такие же части. Пусть \(BD=2x\), \(DC=3x\). Так как \[ BD+DC=BC=20\text{ см}, \] получаем: \[ 2x+3x=20,\quad 5x=20,\quad x=4. \] Отсюда \[ BD=2\cdot4=8\text{ см},\qquad DC=3\cdot4=12\text{ см}. \]

Проверка: \(BD+DC=8+12=20\) см, и \(\frac{BD}{DC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}=\frac{AB}{AC}\). Всё сходится.