∠ABC > ∠CBD в 3 раза
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
[Рисунок: горизонтальная прямая, на ней слева направо точки A, B, D; из точки B вверх проведён луч с точкой C; показаны углы ∠ABC (между BA и BC) и ∠CBD (между BC и BD)] ∠ABC > ∠CBD в 3 раза Найти ∠ABC, ∠CBD
[Рисунок: такой же, как в пункте 1 — прямая с точками A, B, D, из B проведён луч BC] ∠ABC : ∠CBD = 2 : 1 Найти ∠ABC, ∠CBD
[Рисунок: горизонтальная прямая с точками A, B, D (B между A и D); из B проведены два луча: BC — круче и левее, BE — правее, проходит между BC и BD; на лучах отмечены точки C и E] BE — биссектриса ∠ABC > ∠CBE на 63 см Найти ∠BAD, ∠CAD
Кратко
- \(\angle ABC = 135^\circ\), \(\angle CBD = 45^\circ\).
- \(\angle ABC = 120^\circ\), \(\angle CBD = 60^\circ\).
- \(\angle CBD = 78^\circ\), \(\angle ABC = 102^\circ\), \(\angle CBE = \angle EBD = 39^\circ\).
Почему так
Во всех трёх строках точки \(A\), \(B\), \(D\) лежат на одной прямой, поэтому лучи \(BA\) и \(BD\) противоположные, а углы \(\angle ABC\) и \(\angle CBD\) — смежные:
\[ \angle ABC + \angle CBD = 180^\circ . \]
Дальше в каждой строке добавляется своё условие.
Строка 1. \(\angle ABC\) в 3 раза больше: пусть \(\angle CBD = x\), тогда \(\angle ABC = 3x\).
\[ 3x + x = 180^\circ,\quad 4x = 180^\circ,\quad x = 45^\circ . \]
Значит \(\angle CBD = 45^\circ\), \(\angle ABC = 135^\circ\).
Строка 2. Отношение \(2:1\) — это те же «части»: \(\angle ABC = 2x\), \(\angle CBD = x\).
\[ 2x + x = 180^\circ,\quad 3x = 180^\circ,\quad x = 60^\circ . \]
Значит \(\angle CBD = 60^\circ\), \(\angle ABC = 120^\circ\).
Строка 3. По рисунку луч \(BE\) проходит между \(BC\) и \(BD\), то есть \(BE\) — биссектриса угла \(\angle CBD\). Обозначим \(\angle CBE = \angle EBD = x\), тогда \(\angle CBD = 2x\), а \(\angle ABC = 180^\circ - 2x\). По условию \(\angle ABC\) больше \(\angle CBE\) на \(63^\circ\):
\[ 180^\circ - 2x = x + 63^\circ,\quad 3x = 117^\circ,\quad x = 39^\circ . \]
Отсюда \(\angle CBD = 78^\circ\), \(\angle ABC = 102^\circ\).
Проверка: \(102^\circ + 78^\circ = 180^\circ\) — смежные углы сходятся; \(102^\circ - 39^\circ = 63^\circ\) — разность по условию верна.
Два замечания по печати. В третьей строке стоит «на 63 см» — для углов это градусы, я считал \(63^\circ\). И вопрос там напечатан как «Найти \(\angle BAD, \angle CAD\)», хотя по рисунку \(D\) лежит на луче \(BA\) (тогда \(\angle BAD = 0^\circ\)), а луча \(AC\) на рисунке нет вовсе — похоже на опечатку: судя по первым двум строкам, найти нужно было \(\angle ABC\) и \(\angle CBD\), это \(102^\circ\) и \(78^\circ\). Уточни, что записано в тетради, если вопрос другой.
Обсуждение
2 сообщенияС доно
Дано и решение по строкам
Строка 1
Дано: точки \(A\), \(B\), \(D\) лежат на одной прямой; \(\angle ABC\) в 3 раза больше \(\angle CBD\).
Найти: \(\angle ABC\), \(\angle CBD\).
Решение. Пусть \(\angle CBD = x\), тогда \(\angle ABC = 3x\). Углы смежные, значит
\[ \angle ABC + \angle CBD = 180^\circ \;\Rightarrow\; 3x + x = 180^\circ \;\Rightarrow\; 4x = 180^\circ \;\Rightarrow\; x = 45^\circ . \]
Тогда \(\angle ABC = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ\).
Ответ: \(\angle ABC = 135^\circ\), \(\angle CBD = 45^\circ\).
Строка 2
Дано: точки \(A\), \(B\), \(D\) лежат на одной прямой; \(\angle ABC : \angle CBD = 2 : 1\).
Найти: \(\angle ABC\), \(\angle CBD\).
Решение. Пусть \(\angle CBD = x\), тогда \(\angle ABC = 2x\). Углы смежные:
\[ 2x + x = 180^\circ \;\Rightarrow\; 3x = 180^\circ \;\Rightarrow\; x = 60^\circ . \]
Тогда \(\angle ABC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\).
Ответ: \(\angle ABC = 120^\circ\), \(\angle CBD = 60^\circ\).
Строка 3
Дано: точки \(A\), \(B\), \(D\) лежат на одной прямой; луч \(BE\) проходит внутри \(\angle CBD\) и делит его пополам (\(\angle CBE = \angle EBD\)); \(\angle ABC\) больше \(\angle CBE\) на \(63^\circ\).
Найти: \(\angle ABC\), \(\angle CBD\) (и \(\angle CBE\), \(\angle EBD\)).
Решение. Пусть \(\angle CBE = \angle EBD = x\). Тогда
\[ \angle CBD = 2x, \qquad \angle ABC = 180^\circ - 2x . \]
По условию \(\angle ABC = \angle CBE + 63^\circ\), то есть
\[ 180^\circ - 2x = x + 63^\circ \;\Rightarrow\; 117^\circ = 3x \;\Rightarrow\; x = 39^\circ . \]
Отсюда
\[ \angle CBD = 2 \cdot 39^\circ = 78^\circ,\qquad \angle ABC = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ . \]
Проверка: \(102^\circ - 39^\circ = 63^\circ\) — условие выполняется.
Ответ: \(\angle ABC = 102^\circ\), \(\angle CBD = 78^\circ\), \(\angle CBE = \angle EBD = 39^\circ\).
В третьей строке в учебнике напечатано «на 63 см» — для углов это должно быть \(63^\circ\); я решал с градусами.
