№101. Дано: Трапеция ABCD, x : y = 2 : 1, AD = 8 см, BO = OA, CH = HD. Найти: BC.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Домашняя работа №101 Дано: Трапеция \(ABCD\) \(x : y = 2 : 1\) \(AD = 8\) см \(BO = OA\) \(CH = HD\) Найти: \(BC\). [Рисунок: трапеция \(ABCD\), \(AD\) — нижнее основание, \(BC\) — верхнее; на стороне \(AB\) отмечена точка \(O\), на стороне \(CD\) — точка \(H\); точки \(O\) и \(H\) соединены отрезком; этот отрезок пересекает диагональ \(BD\); слева от пересечения на нём отмечено \(x\), справа — \(y\); над \(BC\) стоит знак «?»; под \(AD\) написано «8»; на отрезках \(CH\) и \(HD\) видны отметки равенства.] Решение:
Краткий ответ: \(BC=4\) см.
Пусть \(P\) — точка пересечения \(OH\) и диагонали \(BD\).
\(BO=OA\), значит, \(O\) — середина \(AB\). Аналогично \(CH=HD\), то есть \(H\) — середина \(CD\). Поэтому \(OH\parallel AD\parallel BC\).
В треугольнике \(ABD\) отрезок \(OP\) параллелен \(AD\), а \(O\) — середина \(AB\). Значит, \(OP\) — средняя линия треугольника: \[ x=OP=\frac{AD}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}. \] При этом \(P\) — середина \(BD\).
По условию \(x:y=2:1\), поэтому \[ y=\frac{x}{2}=2\text{ см}. \]
В треугольнике \(BCD\) отрезок \(PH\) параллелен \(BC\), а \(H\) — середина \(CD\). Значит, \(PH\) — средняя линия: \[ y=PH=\frac{BC}{2}. \] Отсюда \[ BC=2y=2\cdot 2=4\text{ см}. \]
Проверка. Средняя линия трапеции: \[ OH=x+y=4+2=6\text{ см}, \] а по формуле: \[ OH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{8+4}{2}=6\text{ см}. \] Всё сходится.
Ответ: \(BC=4\) см.
