114 Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

На фото полностью читается только задание 114; у верхних пунктов а)–б) обрезано начало условия. Решаю №114.

Кратко: медианы, проведённые к равным сторонам равных треугольников, равны, потому что они являются соответственными сторонами равных треугольников.

Доказательство. Пусть \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) — равные треугольники, причём \[ AB=A_1B_1. \] Медианы \(CM\) и \(C_1M_1\) проведены к этим сторонам, значит, \(M\) и \(M_1\) — середины \(AB\) и \(A_1B_1\). Тогда \[ AM=\frac{AB}{2}=\frac{A_1B_1}{2}=A_1M_1. \] Из равенства треугольников: \[ AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1. \] По двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle ACM\cong\triangle A_1C_1M_1. \] Следовательно, соответствующие стороны равны: \[ CM=C_1M_1. \] Для другой пары равных сторон доказательство аналогичное.

Проверка: при наложении равных треугольников середина стороны переходит в середину, поэтому медиана переходит в медиану, а длины совпадают.

Для верхней задачи нужна первая строка условия: без неё не видно, чем является \(ON\).