выполни задание - разрежьте квадрат на две фирмы: выпуклую и невыпуклую

Краткий ответ

Квадрат нужно резать не по прямой, а по ломаной из двух отрезков — тогда один кусок получится выпуклым, а второй — с «вмятиной», то есть невыпуклым.

Как резать (по шагам):

1. Возьмите квадрат \(ABCD\) со стороной 4 (удобно считать по клеточкам).
2. Отметьте середину \(M\) стороны \(AB\), центр квадрата \(O\) и середину \(N\) стороны \(BC\).
3. Разрежьте по ломаной \(M\!-\!O\!-\!N\).

Получились две фигуры:

• \(MBON\) — квадрат \(2\times 2\), он выпуклый (все углы по \(90^\circ\));
• \(AMONCD\) — шестиугольник в форме «уголка» (квадрат, у которого вырезали уголок \(2\times2\)), он невыпуклый.

Почему это работает

1. Прямой разрез не годится. Если резать по отрезку, каждая часть — это квадрат, пересечённый с полуплоскостью, а такие фигуры всегда выпуклые. Значит, одной прямой тут не обойтись.

2. Нужен излом. Невыпуклая фигура обязана иметь «вмятину» — внутренний угол больше \(180^\circ\) (такой угол называют тупым «с изнанки», или рефлекторным). Излом разреза как раз и создаёт такую вершину.

3. Проверка угла при \(O\). В шестиугольнике \(AMONCD\) пройдём по контуру: \(A \to M \to O \to N \to C \to D \to A\). Внутри фигуры при вершине \(O\) лежит угол, равный \[ \angle MON \text{ со стороны фигуры} = 270^\circ > 180^\circ . \] Значит, фигура невыпуклая: например, отрезок от \(M\) до \(N\) целиком внутрь неё не помещается — его «откусывает» вырезанный квадратик.

4. Проверка второго куска. У \(MBON\) все четыре угла по \(90^\circ\), ни одного угла больше \(180^\circ\), поэтому он выпуклый.

Быстрый признак для похожих заданий

• Фигура выпуклая \(\iff\) любой отрезок между двумя её точками целиком лежит внутри неё \(\iff\) все внутренние углы меньше \(180^\circ\).
• Хотите невыпуклый кусок — делайте разрез-«ступеньку» (два отрезка с изломом внутрь одной из частей).