Реши эти 2 номера понятно быстро

Краткие ответы: № 15: \(OC = 32\). № 16: \(41^\circ\) (в условии, скорее всего, опечатка — подробности ниже).

Разбор № 15

Условие: \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\). Отрезки \(AN\) и \(CM\) пересекаются в точке \(O\). \(AN = 42\), \(CM = 48\). Найдите \(OC\).

Решение:

1. Поскольку \(M\) и \(N\) — середины сторон, отрезки \(AN\) и \(CM\) являются медианами треугольника \(ABC\).
2. Точка пересечения медиан \(O\) делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. То есть \(CO\) составляет две трети всей длины \(CM\): \[ CO = \frac{2}{3} \cdot CM \]
3. Подставляем известное значение: \[ OC = \frac{2}{3} \cdot 48 = 32 \]

Проверка: \(OM\) тогда равно \(\frac{1}{3} \cdot 48 = 16\), а \(16 + 32 = 48\). Всё верно. Данное \(AN = 42\) здесь избыточно, оно понадобилось бы, если бы просили найти \(AO\) или \(ON\).

Разбор № 16

Условие: На окружности по разные стороны от диаметра \(AB\) взяты точки \(M\) и \(N\). \(\angle ABM = 41^\circ\). Найдите угол \(BMN\).

Решение и важный нюанс:

1. Так как \(AB\) — диаметр, вписанный угол, опирающийся на него, равен \(90^\circ\). Значит, \(\angle AMB = 90^\circ\).
2. В прямоугольном \(\triangle ABM\) находим второй острый угол: \[ \angle MAB = 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ \]
3. Вспомним свойство: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
   • На дугу \(AM\) опираются \(\angle ABM\) и \(\angle ANM\). Если в задаче имелся в виду угол \(\angle ANM\), то он равен \(41^\circ\).
   • На дугу \(BM\) опираются \(\angle BAM\) и \(\angle BNM\). Тогда \(\angle BNM = 49^\circ\).
4. Если же строго искать угол \(BMN\) из текста, он опирается на дугу \(BN\), как и \(\angle BAN\). Но положение точки \(N\) на полуокружности не задано, поэтому этот угол может быть любым. В подобных задачниках обычно ищут угол \(ANM\) (или дают \(\angle BAN = 41^\circ\), чтобы искомый \(\angle BMN\) тоже был \(41^\circ\)). Поэтому наиболее вероятный ожидаемый ответ — 41.