185, 187

Question

185, 187

Расшифровка фото нейросетью:
185. Определите количество сторон правильного многоугольника, если его угол на 168° больше смежного с ним угла.

186. Найдите количество сторон правильного многоугольника, центральный угол которого равен: 1) 120°; 2) 72°.

Answer

Кратко: №185 — у многоугольника 60 сторон; №187 — 1) 3 стороны (треугольник), 2) 5 сторон (пятиугольник).

№185

Внутренний угол и смежный с ним в сумме дают $180^\circ$. Пусть внутренний угол равен $\alpha$, тогда смежный — $180^\circ-\alpha$.

По условию внутренний угол на $168^\circ$ больше смежного:
$$
\alpha-(180^\circ-\alpha)=168^\circ \Rightarrow 2\alpha=348^\circ \Rightarrow \alpha=174^\circ .
$$

Дальше используем формулу внутреннего угла правильного $n$-угольника:
$$
\alpha=\frac{180^\circ(n-2)}{n}.
$$
$$
174=\frac{180(n-2)}{n} \Rightarrow 174n=180n-360 \Rightarrow 6n=360 \Rightarrow n=60.
$$

Проверка: внешний угол равен $180^\circ-174^\circ=6^\circ$, а сумма внешних углов — $360^\circ$, значит $n=360^\circ:6^\circ=60$. Всё сходится.

№187

Центральный угол правильного $n$-угольника получается делением полного круга на $n$ равных частей:
$$
\beta=\frac{360^\circ}{n}.
$$

1. $\frac{360^\circ}{n}=120^\circ \Rightarrow n=\frac{360}{120}=3$ — правильный треугольник.

2. $\frac{360^\circ}{n}=72^\circ \Rightarrow n=\frac{360}{72}=5$ — правильный пятиугольник.

Проверка: $360^\circ:3=120^\circ$, $360^\circ:5=72^\circ$ — верно.

Полезная связь для похожих задач: центральный угол равен внешнему углу, то есть $\beta=180^\circ-\alpha$. Именно поэтому в №185 при $\alpha=174^\circ$ получилось $\beta=6^\circ$ и $n=360^\circ:6^\circ=60$. Так любую задачу вида «угол → число сторон» можно решать через $n=\frac{360^\circ}{\beta}$, где $\beta$ — центральный (он же внешний) угол.