объясни мне решение смешанных дробей вычитание и сложение

Кратко: смешанное число — это целая и дробная части. При сложении и вычитании удобно либо перевести всё в неправильные дроби, либо отдельно считать целые и дробные части. Главное — приводить дроби к общему знаменателю, а при вычитании иногда «занимать» единицу у целой части.

1. Сложение

Пример:

\[ 3\frac{2}{5}+1\frac{3}{5} \]

Складываем отдельно целые и дробные части:

\[ (3+1)+\left(\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\right) =4+\frac{5}{5}=4+1=5 \]

Ответ: \(5\).

Если знаменатели разные, сначала приводим дроби к общему знаменателю:

\[ 2\frac{1}{6}+3\frac{2}{9} \]

Общий знаменатель \(18\):

\[ \frac{1}{6}=\frac{3}{18},\qquad \frac{2}{9}=\frac{4}{18} \]

Тогда:

\[ 2\frac{1}{6}+3\frac{2}{9} =5+\left(\frac{3}{18}+\frac{4}{18}\right) =5\frac{7}{18} \]

Ответ: \(5\frac{7}{18}\).

2. Вычитание

Пример без «занимания»:

\[ 5\frac{3}{7}-2\frac{1}{7} =(5-2)+\left(\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\right) =3\frac{2}{7} \]

Теперь пример, где дробная часть уменьшаемого меньше:

\[ 6\frac{1}{4}-2\frac{3}{4} \]

Занять единицу у \(6\):

\[ 6\frac{1}{4}=5+\frac{4}{4}+\frac{1}{4} =5\frac{5}{4} \]

Теперь вычитаем:

\[ 5\frac{5}{4}-2\frac{3}{4} =(5-2)+\left(\frac{5}{4}-\frac{3}{4}\right) =3\frac{2}{4} =3\frac{1}{2} \]

Ответ: \(3\frac{1}{2}\).

3. Второй способ — через неправильные дроби

Правило перевода:

\[ a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c} \]

Например:

\[ 6\frac{1}{4}=\frac{6\cdot4+1}{4}=\frac{25}{4} \]

\[ 2\frac{3}{4}=\frac{2\cdot4+3}{4}=\frac{11}{4} \]

Вычитаем:

\[ \frac{25}{4}-\frac{11}{4} =\frac{14}{4} =3\frac{2}{4} =3\frac{1}{2} \]

Получили тот же ответ.

Что важно не перепутать

• При сложении дробей знаменатель не складывается: \(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\).
• Сначала приведи дроби к общему знаменателю.
• Если при сложении дробная часть стала неправильной, выдели из неё целое.
• При вычитании, если дробная часть меньше, займи \(1\) у целой части: \[ 4\frac{1}{5}=3\frac{6}{5} \]
• В конце сократи дробь, если можно.

Проверка: сложение проверяют вычитанием одного слагаемого, а вычитание — сложением ответа с вычитаемым.