Контрольная работа 1. Рациональные выражения. В 3. 1. Из данных выражений выберите целые рациональные выражения:

Question

реши

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа 1
Рациональные выражения
В 3

1. Из данных выражений выберите целые рациональные выражения:
а) $\frac{x-y}{a}$;
б) $7{,}2a^2b+c$;
в) $\frac{m^2}{n}+5k$;
г) $x^2+3x+1$.

2. Областью определения рациональной дроби $\frac{x+3}{x-4}$ является:
а) множество всех действительных чисел;
б) множество всех действительных чисел, кроме числа 4;
в) множество всех действительных чисел, кроме числа -3;
г) множество всех действительных чисел, кроме чисел -3 и 4.

3. Выполните вычитание рациональных дробей: $\frac{9x^2}{y}-\frac{7x^2}{y}$.

4. Сложите рациональные дроби $\frac{1}{c+3}$ и $\frac{3}{c^2+3c}$.

5. Представьте частное в виде несократимой рациональной дроби: $\frac{19m^2n^5}{x^4}:(38mn^7)$.

6. Найдите произведение рациональных дробей: $\frac{x+7}{3x-1}\cdot\frac{6x-2}{x^2-49}$.

7. Сократите дробь $\frac{5m-4m^2-5n+4mn}{m^2-n^2}$.

8. Докажите, что значение выражения $(\frac{1}{p}-\frac{1}{p+p^2})\cdot(\frac{1}{p}-p)-\frac{1}{p}$ не зависит от значения переменной.

9. Установите порядок действий и выполните действия:
$(\frac{x}{x-4}+\frac{8}{x^2-3x-4}+\frac{2}{x+1}):\frac{x+3}{x^2-4x}$.

10. Упростите выражение $\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}-b^{-1}}:(\frac{1}{a^{-1}}+\frac{1}{b^{-1}})^{-1}$.

Answer

Краткие ответы (вариант В 3):

1. б, г.

2. б.

3. $\frac{2x^2}{y}$.

4. $\frac{1}{c}$.

5. $\frac{m}{2x^4n^2}$.

6. $\frac{2}{x-7}$.

7. $\frac{5-4m}{m+n}$.

8. $-1$ — от $p$ не зависит.

9. $\frac{x^2}{x+1}$.

10. $\frac{(a+b)^2}{ab}$.

Ключевые шаги

1. Целое рациональное выражение не содержит переменной в знаменателе. Подходят б) $7{,}2a^2b+c$ и г) $x^2+3x+1$; в а) и в) есть деление на переменную.

2. Для дроби $\frac{x+3}{x-4}$ нужно $x-4\ne0$, то есть $x\ne4$. Значение $x=-3$ допустимо: числитель обращается в нуль, но дробь существует. Ответ б).

3. Знаменатель общий:
$$
\frac{9x^2}{y}-\frac{7x^2}{y}=\frac{9x^2-7x^2}{y}=\frac{2x^2}{y},\quad y\ne0.
$$

4. Так как $c^2+3c=c(c+3)$, приводим к общему знаменателю:
$$
\frac{1}{c+3}+\frac{3}{c(c+3)}
=\frac{c+3}{c(c+3)}=\frac{1}{c},\quad c\ne0,-3.
$$

5. Деление — это умножение на обратную дробь:
$$
\frac{19m^2n^5}{x^4}\cdot\frac{1}{38mn^7}
=\frac{m}{2x^4n^2},\quad m,n,x\ne0.
$$

6. Раскладываем на множители:
$$
6x-2=2(3x-1),\qquad x^2-49=(x-7)(x+7).
$$
После сокращения:
$$
\frac{x+7}{3x-1}\cdot\frac{2(3x-1)}{(x-7)(x+7)}
=\frac{2}{x-7}.
$$
Исходные ограничения: $x\ne\frac13,\ x\ne\pm7$.

7. Группируем числитель:
$$
5m-4m^2-5n+4mn=(m-n)(5-4m),
$$
а $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$. Поэтому
$$
\frac{5-4m}{m+n},\quad m\ne\pm n.
$$

8. Упрощаем каждый множитель:
$$
\frac1p-\frac{1}{p+p^2}=\frac{1}{1+p},\qquad
\frac1p-p=\frac{1-p^2}{p}.
$$
Тогда
$$
\frac{1}{1+p}\cdot\frac{1-p^2}{p}-\frac1p
=\frac{1-p}{p}-\frac1p=-1.
$$
Значение не зависит от $p$ при $p\ne0,-1$. Проверка: при $p=2$ тоже получается $-1$.

9. Порядок действий: сначала скобка, затем деление, затем сокращение. Так как $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$, числитель скобки:
$$
x(x+1)+8+2(x-4)=x^2+3x=x(x+3).
$$
Поэтому
$$
\left(\frac{x}{x-4}+\frac{8}{x^2-3x-4}+\frac{2}{x+1}\right)
=\frac{x(x+3)}{(x-4)(x+1)}.
$$
Деление заменяем умножением на $\frac{x^2-4x}{x+3}=\frac{x(x-4)}{x+3}$:
$$
\frac{x(x+3)}{(x-4)(x+1)}\cdot\frac{x(x-4)}{x+3}
=\frac{x^2}{x+1}.
$$
Ограничения: $x\ne-3,-1,0,4$.

10. Так как $a^{-1}=\frac1a$, $b^{-1}=\frac1b$, то
$$
\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}-b^{-1}}=\frac{a+b}{ab}.
$$
Далее
$$
\left(\frac{1}{a^{-1}}+\frac{1}{b^{-1}}\right)^{-1}
=(a+b)^{-1}=\frac{1}{a+b}.
$$
Значит,
$$
\frac{a+b}{ab}:\frac{1}{a+b}
=\frac{(a+b)^2}{ab}.
$$
Ограничения: $a,b\ne0,\ a\ne b,\ a+b\ne0$.

Что запомнить: в рациональных выражениях сначала раскладываем числители и знаменатели на множители, затем приводим к общему знаменателю или сокращаем; отдельно выписываем значения переменных, при которых знаменатель равен нулю.