Дано: ABCD — трапеция; BE // CD; ∠A=40°, ∠ABE=75°. Найти: углы трапеции

Кратко:
\[ \angle A=40^\circ,\quad \angle B=140^\circ,\quad \angle C=115^\circ,\quad \angle D=65^\circ. \]

Решение:

1. По рисунку основания трапеции — \(AD\) и \(BC\), то есть \(AD\parallel BC\). Углы \(A\) и \(B\) при боковой стороне \(AB\) в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle B=180^\circ-40^\circ=140^\circ. \]

2. В треугольнике \(ABE\): \[ \angle AEB=180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ. \]

3. Точки \(A,E,D\) лежат на одной прямой, поэтому углы \(AEB\) и \(BED\) смежные: \[ \angle BED=180^\circ-65^\circ=115^\circ. \]

4. Так как \(BC\parallel ED\) и \(BE\parallel CD\), четырёхугольник \(BCDE\) — параллелограмм. В параллелограмме противоположные углы равны: \[ \angle C=\angle BCD=\angle BED=115^\circ. \]

5. Углы \(C\) и \(D\) при боковой стороне \(CD\) дают в сумме \(180^\circ\): \[ \angle D=180^\circ-115^\circ=65^\circ. \]

Проверка: \[ 40^\circ+140^\circ+115^\circ+65^\circ=360^\circ. \] Сумма углов трапеции действительно \(360^\circ\).