дай сразу решение и ответ

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа 1
Рациональные выражения
В 3

1. Из данных выражений выберите целые рациональные выражения:
а) $\frac{x-y}{a}$;
б) $7{,}2a^2b+c$;
в) $\frac{m^2}{n}+5k$;
г) $x^2+3x+1$.

2. Областью определения рациональной дроби $\frac{x+3}{x-4}$ является:
а) множество всех действительных чисел, кроме чисел $-3$ и $4$;
б) множество всех действительных чисел, кроме числа $4$;
в) множество всех действительных чисел, кроме числа $-3$;
г) множество всех действительных чисел.

3. Выполните вычитание рациональных дробей: $\frac{9x^2}{y}-\frac{7x^2}{y}$.

4. Сложите рациональные дроби $\frac{1}{c+3}$ и $\frac{3}{c^2+3c}$.

5. Представьте частное в виде несократимой рациональной дроби:
$\frac{19m^2n^5}{x^4}:(38mn^7)$.

6. Найдите произведение рациональных дробей: $\frac{x+7}{3x-1}\cdot\frac{6x-2}{x^2-49}$.

7. Сократите дробь $\frac{5m-4m^2-5n+4mn}{m^2-n^2}$.

8. Докажите, что значение выражения $\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{p+p^2}\right)\cdot\left(\frac{1}{p}-p\right)-\frac{1}{p}$ не зависит от значения переменной.

9. Установите порядок действий и выполните действия:
$$\left(\frac{x}{x-4}+\frac{8}{x^2-3x-4}+\frac{2}{x+1}\right):\frac{x+3}{x^2-4x}.$$

10. Упростите выражение $\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}-b^{-1}}:\left(\frac{1}{a^{-1}}+\frac{1}{b^{-1}}\right)^{-1}$.

Answer

Сначала главное правило для всей темы: знаменатель не может быть равен нулю; при сложении дробей приводим к общему знаменателю, при делении — переворачиваем вторую дробь, а отрицательная степень «переворачивает» основание.

Краткие ответы

1. б, г

2. б

3. $\dfrac{2x^2}{y}$ при $y\ne0$

4. $\dfrac{1}{c}$ при $c\ne0,\ -3$

5. $\dfrac{m}{2n^2x^4}$ при $m,n,x\ne0$

6. $\dfrac{2}{x-7}$ при $x\ne\frac13,\ \pm7$

7. $\dfrac{5-4m}{m+n}$ при $m\ne\pm n$

8. $-1$ при $p\ne0,\ -1$

9. $\dfrac{x^2}{x+1}$ при $x\ne4,\ -1,\ 0,\ -3$

10. $\dfrac{(a+b)^2}{ab}$ при $a,b\ne0,\ a\ne b,\ a\ne -b$

Ключевые шаги

1. Целое рациональное выражение не содержит переменной в знаменателе. В а) и в) есть деление на $a$ и $n$, поэтому они не целые. б) и г) — многочлены.

2. Дробь $\dfrac{x+3}{x-4}$ имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю:
$$
x-4\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne4.
$$
Числитель на область определения не влияет, поэтому ответ б).

3. Знаменатели одинаковые, вычитаем числители:
$$
\frac{9x^2}{y}-\frac{7x^2}{y}
=\frac{9x^2-7x^2}{y}
=\frac{2x^2}{y}.
$$

4. Раскладываем $c^2+3c=c(c+3)$:
$$
\frac{1}{c+3}+\frac{3}{c(c+3)}
=\frac{c}{c(c+3)}+\frac{3}{c(c+3)}
=\frac{c+3}{c(c+3)}
=\frac1c.
$$

5. Деление заменяем умножением на обратную дробь:
$$
\frac{19m^2n^5}{x^4}:38mn^7
=\frac{19m^2n^5}{x^4\cdot38mn^7}
=\frac{m}{2n^2x^4}.
$$

6. Раскладываем:
$$
6x-2=2(3x-1),\qquad x^2-49=(x-7)(x+7).
$$
Тогда
$$
\frac{x+7}{3x-1}\cdot\frac{2(3x-1)}{(x-7)(x+7)}
=\frac{2}{x-7}.
$$

7. Группируем числитель:
$$
5m-4m^2-5n+4mn
=5(m-n)-4m(m-n)
=(m-n)(5-4m).
$$
Знаменатель:
$$
m^2-n^2=(m-n)(m+n).
$$
Сокращаем на $m-n$:
$$
\frac{(m-n)(5-4m)}{(m-n)(m+n)}
=\frac{5-4m}{m+n}.
$$

8. Упрощаем каждую скобку:
$$
\frac1p-\frac1{p+p^2}
=\frac1p-\frac1{p(1+p)}
=\frac{1+p-1}{p(1+p)}
=\frac1{1+p},
$$
$$
\frac1p-p=\frac{1-p^2}{p}
=\frac{(1-p)(1+p)}p.
$$
Перемножаем и вычитаем $\frac1p$:
$$
\frac1{1+p}\cdot\frac{(1-p)(1+p)}p-\frac1p
=\frac{1-p}{p}-\frac1p
=\frac{1-p-1}{p}
=-1.
$$
Переменная сократилась, значит, значение не зависит от $p$.

9. Раскладываем:
$$
x^2-3x-4=(x-4)(x+1).
$$
В скобке приводим к общему знаменателю:
$$
\frac{x}{x-4}+\frac8{(x-4)(x+1)}+\frac2{x+1}
=\frac{x(x+1)+8+2(x-4)}{(x-4)(x+1)}
=\frac{x^2+3x}{(x-4)(x+1)}
=\frac{x(x+3)}{(x-4)(x+1)}.
$$
Деление заменяем умножением:
$$
\frac{x(x+3)}{(x-4)(x+1)}\cdot\frac{x(x-4)}{x+3}
=\frac{x^2}{x+1}.
$$

10. Используем $a^{-1}=\frac1a$, $a^{-2}=\frac1{a^2}$:
$$
\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}-b^{-1}}
=\frac{\frac1{a^2}-\frac1{b^2}}{\frac1a-\frac1b}
=\frac{\frac{b^2-a^2}{a^2b^2}}{\frac{b-a}{ab}}
=\frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2}\cdot\frac{ab}{b-a}
=\frac{a+b}{ab}.
$$
Далее
$$
\left(\frac1{a^{-1}}+\frac1{b^{-1}}\right)^{-1}
=(a+b)^{-1}=\frac1{a+b}.
$$
Поэтому
$$
\frac{a+b}{ab}:\frac1{a+b}
=\frac{(a+b)^2}{ab}.
$$

Проверка. В № 6 при $x=0$ исходное произведение даёт $-\frac27$, и формула $\frac2{x-7}$ — тоже $-\frac27$. В № 9 при $x=2$ обе части дают $\frac43$. Всё сходится.