2.21. Пользуясь определением квадратного уравнения, среди данных уравнений выберите квадратные и определите их коэффициенты:

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
2.21. Пользуясь определением квадратного уравнения, среди данных уравнений выберите квадратные и определите их коэффициенты:
а) $5x^2-3x+2=0$;
б) $x^2+5x-1=0$;
в) $x^2-8=0$;
г) $x+18=0$;
д) $2x^2-9x=0$;
е) $x^4-7x^3+5x^2=0$.
Какие из данных уравнений являются неполными квадратными уравнениями?

2.22. Составьте квадратное уравнение, в котором:
а) все коэффициенты равны;
б) первый коэффициент в два раза меньше свободного члена.

2.23. Решите уравнение:
а) $x^2-7x=0$;
б) $3x^2+2x=0$;
в) $x^2-36=0$;
г) $16x^2-25=0$;
д) $x^2=-8x$;
е) $x^2=7x$;
ж) $2x^2+x=5x$;
з) $x^2+3=0$;
и) $3x=x^2-2x$.

2.24. Решите уравнение:
а) $\frac{1}{3}x^2=27$;
б) $\frac{x^2}{5}+3x=0$;
в) $\frac{x^2-4}{3}=4$;
г) $\frac{x^2+7x+18}{3}=6$.

Answer

На фото несколько номеров — я разобрал 2.21–2.24. Если нужен только один, напиши его номер.

2.21

Квадратное уравнение имеет вид

$$
ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne 0.
$$

Квадратные уравнения: а), б), в), д).

Их коэффициенты:

а) $5x^2-3x+2=0$: $a=5,\ b=-3,\ c=2$;

б) $x^2+5x-1=0$: $a=1,\ b=5,\ c=-1$;

в) $x^2-8=0$: $a=1,\ b=0,\ c=-8$;

д) $2x^2-9x=0$: $a=2,\ b=-9,\ c=0$.

Не являются квадратными:

г) $x+18=0$ — линейное уравнение;

е) $x^4-7x^3+5x^2=0$ — уравнение 4-й степени.

Неполные квадратные уравнения: в) и д).
У неполного квадратного уравнения либо $b=0$, либо $c=0$.

2.22

Нужно составить уравнение $ax^2+bx+c=0$, где $a\ne0$.

а) Все коэффициенты равны.
Можно взять $a=b=c=1$:

$$
x^2+x+1=0.
$$

Подходит также любое уравнение вида $kx^2+kx+k=0$, где $k\ne0$.

б) Первый коэффициент в два раза меньше свободного члена.
То есть $c=2a$. Например, $a=1,\ c=2,\ b=3$:

$$
x^2+3x+2=0.
$$

Здесь первый коэффициент $1$, свободный член $2$, и $1$ действительно в два раза меньше $2$.

2.23

Используем главное правило: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

а) $x^2-7x=0$
$$
x(x-7)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=7.
$$

б) $3x^2+2x=0$
$$
x(3x+2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-\frac23.
$$

в) $x^2-36=0$
$$
x^2=36 \Rightarrow x=-6 \text{ или } x=6.
$$

г) $16x^2-25=0$
$$
x^2=\frac{25}{16} \Rightarrow x=-\frac54 \text{ или } x=\frac54.
$$

д) $x^2=-8x$
$$
x^2+8x=0 \Rightarrow x(x+8)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-8.
$$

е) $x^2=7x$
$$
x^2-7x=0 \Rightarrow x(x-7)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=7.
$$

ж) $2x^2+x=5x$
$$
2x^2-4x=0 \Rightarrow 2x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=2.
$$

з) $x^2+3=0$
$$
x^2=-3.
$$
Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней нет.

и) $3x=x^2-2x$
$$
x^2-5x=0 \Rightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=5.
$$

Если в пункте и) в конце стоит не $2x$, а просто $2$, то уравнение будет $x^2-3x-2=0$, и тогда
$$
x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}.
$$

2.24

а) $\dfrac13x^2=27$
$$
x^2=81 \Rightarrow x=-9 \text{ или } x=9.
$$

б) $\dfrac{x^2}{5}+3x=0$
Умножим на $5$:
$$
x^2+15x=0 \Rightarrow x(x+15)=0.
$$
Значит, $x=0$ или $x=-15$.

в) $\dfrac{x^2-4}{3}=4$
Умножим на $3$:
$$
x^2-4=12 \Rightarrow x^2=16.
$$
Значит, $x=-4$ или $x=4$.

г) $\dfrac{x^2+7x+18}{3}=6$
Умножим на $3$:
$$
x^2+7x+18=18 \Rightarrow x^2+7x=0.
$$
$$
x(x+7)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-7.
$$

Общий принцип: сначала привести уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$, затем либо вынести общий множитель $x$, либо выразить $x^2$, либо применить формулу корней.