1. Сторона квадрата равна 7√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Сторона квадрата равна \(7\sqrt{2}\). Найдите диагональ этого квадрата. [Рисунок: квадрат \(ABCD\) с диагональю \(AC\).]
Сторона квадрата равна \(8\sqrt{2}\). Найдите диагональ этого квадрата. [Рисунок: квадрат \(ABCD\) с диагональю \(AC\).]
Диагонали \(AC\) и \(BD\) прямоугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\), \(BO = 8\), \(AB = 9\). Найдите \(AC\). [Рисунок: прямоугольник \(ABCD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).]
Найдите угол \(ADC\) равнобедренной трапеции \(ABCD\), если диагональ \(AC\) образует с основанием \(BC\) и боковой стороной \(AB\) углы, равные \(30^\circ\) и \(50^\circ\) соответственно. [Рисунок: равнобедренная трапеция \(ABCD\) с диагональю \(AC\); у вершины \(A\) отмечен угол \(50^\circ\), у вершины \(C\) — \(30^\circ\).]
В равнобедренной трапеции \(ABCD\) угол \(D\) равен \(68^\circ\). Найдите градусную меру угла \(ACD\), если луч \(AC\) является биссектрисой угла \(BAD\). [Рисунок: равнобедренная трапеция \(ABCD\), проведена диагональ \(AC\).]
В равнобедренной трапеции с основаниями \(AD\) и \(BC\) угол \(D\) равен \(74^\circ\). Диагональ \(AC\) образует со стороной \(AB\) угол \(21^\circ\). Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции? [Рисунок: равнобедренная трапеция \(ABCD\) с диагональю \(AC\).]
На фото полностью читаются задания 1–6 — решаю их. Правая часть листа с заданиями 7–10 обрезана.
Краткие ответы:
- \(14\)
- \(16\)
- \(16\)
- \(80^\circ\)
- \(78^\circ\)
- \(53^\circ\)
Как решать
№1–2. Диагональ квадрата.
Квадрат со стороной \(a\) диагональ делит на два прямоугольных равнобедренных треугольника. По теореме Пифагора:
\[
d^2=a^2+a^2=2a^2,\qquad d=a\sqrt2.
\]
- \(a=7\sqrt2\): \[ d=7\sqrt2\cdot\sqrt2=7\cdot2=14. \]
- \(a=8\sqrt2\): \[ d=8\sqrt2\cdot\sqrt2=8\cdot2=16. \]
№3. Прямоугольник.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит,
\[
BD=2BO=2\cdot8=16.
\]
Следовательно,
\[
AC=BD=16.
\]
Длина \(AB=9\) в решении не нужна.
№4. Равнобедренная трапеция.
Дано \(\angle BCA=30^\circ\), \(\angle BAC=50^\circ\).
Так как \(AD\parallel BC\), то
\[
\angle CAD=\angle BCA=30^\circ
\]
как накрест лежащие углы. Тогда
\[
\angle BAD=50^\circ+30^\circ=80^\circ.
\]
В равнобедренной трапеции углы при основании \(AD\) равны, поэтому
\[
\angle ADC=\angle BAD=80^\circ.
\]
№5. Биссектриса угла трапеции.
В равнобедренной трапеции
\[
\angle BAD=\angle D=68^\circ.
\]
\(AC\) — биссектриса, значит,
\[
\angle CAD=\frac{68^\circ}{2}=34^\circ.
\]
В треугольнике \(ACD\):
\[
\angle ACD=180^\circ-34^\circ-68^\circ=78^\circ.
\]
№6. Угол с меньшим основанием.
В равнобедренной трапеции
\[
\angle BAD=\angle D=74^\circ.
\]
Так как \(\angle BAC=21^\circ\), то
\[
\angle CAD=74^\circ-21^\circ=53^\circ.
\]
Из параллельности \(AD\parallel BC\):
\[
\angle BCA=\angle CAD=53^\circ.
\]
Это и есть угол между диагональю \(AC\) и меньшим основанием \(BC\).
