312. Найдите, используя алгоритм: а) НОД (90; 120), НОК (90; 120); б) НОД (16; 5), НОК (16; 5); в) НОД (12; 36), НОК (12; 36); г) НОД (12; 48), НОК (12; 48).

Кратко

Алгоритм, который здесь нужен

1. НОД — алгоритм Евклида. Большее делим на меньшее с остатком, потом меньшее делим на этот остаток, и так до тех пор, пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток — это и есть НОД.

2. НОК — через НОД. Работает правило \[ \text{НОД}(a;b)\cdot \text{НОК}(a;b)=a\cdot b \quad\Rightarrow\quad \text{НОК}(a;b)=\frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a;b)}. \]

Решение по шагам

а) 90 и 120 \[ 120=90\cdot 1+30,\qquad 90=30\cdot 3+0 \] Остаток 0 пришёл на 30, значит \(\text{НОД}=30\). \[ \text{НОК}=\frac{90\cdot 120}{30}=90\cdot 4=360 \]

б) 16 и 5 \[ 16=5\cdot 3+1,\qquad 5=1\cdot 5+0 \] Остаток 0 пришёл на 1, значит \(\text{НОД}=1\) — числа взаимно простые. \[ \text{НОК}=\frac{16\cdot 5}{1}=80 \]

в) 12 и 36

36 делится на 12 нацело (\(36=12\cdot 3+0\)), поэтому делить дальше нечего: \(\text{НОД}=12\). \[ \text{НОК}=\frac{12\cdot 36}{12}=36 \]

г) 12 и 48

\(48=12\cdot 4+0\), значит \(\text{НОД}=12\). \[ \text{НОК}=\frac{12\cdot 48}{12}=48 \]

Проверка и полезное наблюдение

Проверим правило \(\text{НОД}\cdot\text{НОК}=a\cdot b\):

• \(30\cdot 360=10800=90\cdot 120\) ✔
• \(1\cdot 80=80=16\cdot 5\) ✔
• \(12\cdot 36=432=12\cdot 36\) ✔
• \(12\cdot 48=576=12\cdot 48\) ✔

Если одно число делится на другое (случаи в) и г)), ответ виден сразу: НОД — меньшее число, НОК — большее. Если числа взаимно простые (случай б)), НОД = 1, а НОК равно их произведению.

Ещё одна проверка — через разложение на простые множители: в НОД берём общие множители с наименьшими степенями, в НОК — все множители с наибольшими. Например, \(90=2\cdot 3^2\cdot 5\), \(120=2^3\cdot 3\cdot 5\), откуда \(\text{НОД}=2\cdot 3\cdot 5=30\), а \(\text{НОК}=2^3\cdot 3^2\cdot 5=360\).