решить задачу

Краткий ответ: \(h = R(\sqrt{2}-1) \approx 0{,}41R \approx 2{,}6\cdot 10^6\) м, то есть примерно 2650 км над поверхностью Земли (при \(R \approx 6400\) км).

Как рассуждать

1. Сила тяготения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли: \[ F = G\frac{Mm}{r^2}. \]

2. На поверхности Земли \(r = R\), поэтому \[ F_0 = G\frac{Mm}{R^2}. \]

3. На высоте \(h\) расстояние до центра равно \(R+h\): \[ F = G\frac{Mm}{(R+h)^2}. \]

4. По условию сила стала в 2 раза меньше: \(F = \dfrac{F_0}{2}\). Приравниваем: \[ G\frac{Mm}{(R+h)^2} = \frac{1}{2}\cdot G\frac{Mm}{R^2}. \]

5. Сокращаем \(GMm\) и переворачиваем дроби: \[ (R+h)^2 = 2R^2. \] Отсюда \(R+h = R\sqrt{2}\), значит \[ h = R(\sqrt{2}-1) \approx 0{,}414R. \]

Проверка: подставим \(R = 6400\) км: \[ h \approx 0{,}414\cdot 6400 \approx 2650 \text{ км}. \] На таком расстоянии \(r = R\sqrt{2}\), а \(r^2 = 2R^2\) — сила действительно ровно в 2 раза меньше. Если взять \(R = 6371\) км, получится около 2640 км — порядок тот же.

Главная идея: «в 2 раза меньше сила» означает «в \(\sqrt{2}\) раза больше расстояние от центра», а не от поверхности. Поэтому к радиусу Земли прибавляется не сам радиус, а примерно 0,41 его часть.