1. Что такое вектор i; j? 2. Как можно разложить любой вектор p по координатным векторам?

Кратко. \(\vec i\) и \(\vec j\) — единичные координатные векторы осей \(Ox\) и \(Oy\). Любой вектор на плоскости раскладывается по ним: \[ \vec p=x\vec i+y\vec j, \] где \(x\) и \(y\) — координаты вектора \(\vec p\). Векторы \(\vec a\{x_1;y_1\}\) и \(\vec b\{x_2;y_2\}\) равны тогда и только тогда, когда \(x_1=x_2\) и \(y_1=y_2\).

По пунктам

1. \(\vec i\) направлен вдоль оси \(Ox\), \(\vec j\) — вдоль оси \(Oy\). В прямоугольной системе координат
   \[ |\vec i|=|\vec j|=1,\qquad \vec i\perp \vec j. \] Они неколлинеарны, поэтому образуют базис плоскости.

2. Любой вектор \(\vec p\) единственным образом представляется в виде
   \[ \vec p=x\vec i+y\vec j. \] Числа \(x\) и \(y\) показывают, сколько «шагов» нужно сделать вдоль осей \(Ox\) и \(Oy\). Это не длины, а коэффициенты разложения; они могут быть отрицательными.

3. Координатами вектора \(\vec p\) называют именно коэффициенты \(x\) и \(y\) в разложении \(\vec p=x\vec i+y\vec j\). Записывают: \[ \vec p\{x;y\}. \] Если вектор задан точками \(A(x_A;y_A)\) и \(B(x_B;y_B)\), то \[ \overrightarrow{AB}=\{x_B-x_A;\;y_B-y_A\}. \]

4. Равные векторы имеют одинаковое направление и одинаковую длину. В одной и той же системе координат это равносильно равенству обеих координат: \[ \vec a=\vec b \iff x_1=x_2 \ \text{и}\ y_1=y_2. \]

Проверка. Например, \(\vec a=2\vec i+3\vec j\), \(\vec b=2\vec i+3\vec j\): координаты совпадают, значит \(\vec a=\vec b\). Если же взять \(\vec c=2\vec i+4\vec j\), то первые координаты равны, а вторые нет, поэтому \(\vec a\ne \vec c\).