Решить

На скриншоте с домашним заданием три примера. Вот их упрощение.

1

\[ \frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}\cdot\left(\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}\right) \]

Сначала раскладываем и приводим скобку к общему знаменателю:

\[ \frac{(m-n)(m+n)}{(m+n)^2}=\frac{m-n}{m+n} \]

\[ \frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n} =\frac{(m+n)-(m-n)}{(m-n)(m+n)} =\frac{2n}{(m-n)(m+n)} \]

Перемножаем:

\[ \frac{m-n}{m+n}\cdot\frac{2n}{(m-n)(m+n)} =\frac{2n}{(m+n)^2} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{2n}{(m+n)^2}} \]

при \(m\neq n\) и \(m\neq -n\).

---

2

\[ \frac{x^2-10x+25}{x^2-25}\cdot\frac{5x+x^2}{x-5} \]

Раскладываем на множители:

\[ x^2-10x+25=(x-5)^2 \]

\[ x^2-25=(x-5)(x+5) \]

\[ 5x+x^2=x(x+5) \]

Получаем:

\[ \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)}\cdot\frac{x(x+5)}{x-5} =x \]

Ответ:

\[ \boxed{x} \]

при \(x\neq 5\) и \(x\neq -5\).

---

3

\[ \left(\frac{4}{a-3}-\frac{a+3}{a^2-9}\right): \frac{a^2-6a+9}{a^2+6a+9} \]

Так как \(a^2-9=(a-3)(a+3)\), то

\[ \frac{a+3}{a^2-9}=\frac{1}{a-3} \]

Поэтому в скобке:

\[ \frac{4}{a-3}-\frac{1}{a-3}=\frac{3}{a-3} \]

Далее:

\[ a^2-6a+9=(a-3)^2 \]

\[ a^2+6a+9=(a+3)^2 \]

Получаем:

\[ \frac{3}{a-3}\cdot\frac{(a+3)^2}{(a-3)^2} =\frac{3(a+3)^2}{(a-3)^3} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{3(a+3)^2}{(a-3)^3}} \]

при \(a\neq 3\) и \(a\neq -3\).

Если нужно решить ещё задания с печатных страниц 20–21, напиши номер варианта — разберу.

Да, сделаю всё. В присланном фрагменте было три примера — они решены:

1. \(\frac{2n}{(m+n)^2}\)
2. \(x\)
3. \(\frac{3(a+3)^2}{(a-3)^3}\)

А страницы 20–21 в чате не видны. Пришли их фото целиком и читаемо — я решу все номера по порядку.

На фото в чате видно ровно три задания — все они уже решены. Свожу ответы в одно место, чтобы было удобно проверять:

№	Задание	Ответ	Ограничения
1	\(\frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}\cdot\left(\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}\right)\)	\(\frac{2n}{(m+n)^2}\)	\(m\neq n,\ m\neq -n\)
2	\(\frac{x^2-10x+25}{x^2-25}\cdot\frac{5x+x^2}{x-5}\)	\(x\)	\(x\neq 5,\ x\neq -5\)
3	\(\left(\frac{4}{a-3}-\frac{a+3}{a^2-9}\right):\frac{a^2-6a+9}{a^2+6a+9}\)	\(\frac{3(a+3)^2}{(a-3)^3}\)	\(a\neq 3,\ a\neq -3\)

Короткая проверка второго номера подстановкой: при \(x=2\) исходное выражение даёт \(\frac{4-20+25}{4-25}\cdot\frac{10+4}{-3}=\frac{9}{-21}\cdot\frac{14}{-3}=2\), то есть \(x\). Верно.

Если на фото есть ещё номера (например, со страниц 20–21), они в кадр не попали — пришли фото крупнее или по частям, и я так же разберу каждый.

В этом чате у меня открыто только одно изображение — то, где три примера на дроби (они решены выше: \(\frac{2n}{(m+n)^2}\), \(x\), \(\frac{3(a+3)^2}{(a-3)^3}\)). Остальные фото, если ты их отправлял, до меня не дошли — вижу только этот один кадр.

Пришли остальные ещё раз, лучше по одному фото за сообщение и покрупнее, чтобы степени и знаки были различимы, — и я решу все номера подряд.

На фото ровно три задания — «Упростите выражение». Все три решаю заново, полностью, по шагам.

Общий план для всех: разложить числители и знаменатели на множители по формулам \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b),\qquad a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2, \] затем сократить одинаковые множители.

---

1)

\[ \frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}\cdot\left(\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}\right) \]

Шаг 1. Раскладываем первую дробь:

\[ \frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}=\frac{(m-n)(m+n)}{(m+n)^2}=\frac{m-n}{m+n} \]

Шаг 2. Приводим скобку к общему знаменателю \((m-n)(m+n)\):

\[ \frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}=\frac{(m+n)-(m-n)}{(m-n)(m+n)}=\frac{2n}{m^2-n^2} \]

Шаг 3. Перемножаем:

\[ \frac{m-n}{m+n}\cdot\frac{2n}{(m-n)(m+n)}=\frac{2n}{(m+n)^2} \]

Ответ 1:

\[ \boxed{\frac{2n}{(m+n)^2}},\quad m\neq \pm n \]

---

2)

\[ \frac{x^2-10x+25}{x^2-25}\cdot\frac{5x+x^2}{x-5} \]

Шаг 1. Замечаем квадрат разности и разность квадратов:

\[ x^2-10x+25=(x-5)^2,\qquad x^2-25=(x-5)(x+5) \]

Шаг 2. В числителе второй дроби выносим \(x\):

\[ 5x+x^2=x(x+5) \]

Шаг 3. Подставляем и сокращаем \((x-5)\), \((x+5)\):

\[ \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)}\cdot\frac{x(x+5)}{x-5}=x \]

Ответ 2:

\[ \boxed{x},\quad x\neq \pm 5 \]

---

3)

\[ \left(\frac{4}{a-3}-\frac{a+3}{a^2-9}\right):\frac{a^2-6a+9}{a^2+6a+9} \]

Шаг 1. Так как \(a^2-9=(a-3)(a+3)\), то вторая дробь в скобке сокращается:

\[ \frac{a+3}{a^2-9}=\frac{a+3}{(a-3)(a+3)}=\frac{1}{a-3} \]

Шаг 2. Тогда скобка:

\[ \frac{4}{a-3}-\frac{1}{a-3}=\frac{3}{a-3} \]

Шаг 3. Раскладываем дробь-делитель:

\[ \frac{a^2-6a+9}{a^2+6a+9}=\frac{(a-3)^2}{(a+3)^2} \]

Шаг 4. Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{3}{a-3}\cdot\frac{(a+3)^2}{(a-3)^2}=\frac{3(a+3)^2}{(a-3)^3} \]

Ответ 3:

\[ \boxed{\frac{3(a+3)^2}{(a-3)^3}},\quad a\neq \pm 3 \]

---

Проверка (номер 3) подстановкой \(a=0\): исходно \(\left(\frac{4}{-3}-\frac{3}{-9}\right):\frac{9}{9}=\left(-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\right):1=-\frac{3}{3}=-1\). По формуле \(\frac{3\cdot 9}{(-3)^3}=\frac{27}{-27}=-1\). Совпало.

Что запомнить: почти все такие примеры решаются в три действия — разложить на множители, сократить, собрать обратно. Если бы в номере 1 в скобке стоял знак «+», ответ был бы другим, поэтому сначала всегда приводят скобку к общему знаменателю, а уже потом умножают.

Кратко, но с пояснением каждого шага.

1) \(\dfrac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}\cdot\left(\dfrac{1}{m-n}-\dfrac{1}{m+n}\right)\)

Что делаем: раскладываем по формулам \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), в скобке приводим к общему знаменателю.

\[ \frac{(m-n)(m+n)}{(m+n)^2}=\frac{m-n}{m+n} \]

\[ \frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}=\frac{(m+n)-(m-n)}{(m-n)(m+n)}=\frac{2n}{(m-n)(m+n)} \]

\[ \frac{m-n}{m+n}\cdot\frac{2n}{(m-n)(m+n)}=\frac{2n}{(m+n)^2} \]

Ответ: \(\boxed{\dfrac{2n}{(m+n)^2}}\), \(m\neq\pm n\).

Пояснение: \((m-n)\) и \((m+n)\) сокращаются полностью, в знаменателе остаётся один множитель \((m+n)\) в квадрате. Знаменатель не может быть нулём — отсюда ограничения.

---

2) \(\dfrac{x^2-10x+25}{x^2-25}\cdot\dfrac{5x+x^2}{x-5}\)

Что делаем: узнаём квадрат разности, разность квадратов и выносим общий множитель.

\[ x^2-10x+25=(x-5)^2,\quad x^2-25=(x-5)(x+5),\quad 5x+x^2=x(x+5) \]

\[ \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)}\cdot\frac{x(x+5)}{x-5}=x \]

Ответ: \(\boxed{x}\), \(x\neq\pm 5\).

Пояснение: все множители, кроме \(x\), взаимно сокращаются: \((x-5)\) дважды в числителе и один раз в знаменателе, \((x+5)\) — наоборот.

---

3) \(\left(\dfrac{4}{a-3}-\dfrac{a+3}{a^2-9}\right):\dfrac{a^2-6a+9}{a^2+6a+9}\)

Что делаем: замечаем, что \(a^2-9=(a-3)(a+3)\), поэтому вторая дробь в скобке равна \(\frac{1}{a-3}\).

\[ \frac{4}{a-3}-\frac{1}{a-3}=\frac{3}{a-3} \]

\[ \frac{a^2-6a+9}{a^2+6a+9}=\frac{(a-3)^2}{(a+3)^2} \]

Деление заменяем умножением на перевёрнутую дробь:

\[ \frac{3}{a-3}\cdot\frac{(a+3)^2}{(a-3)^2}=\frac{3(a+3)^2}{(a-3)^3} \]

Ответ: \(\boxed{\dfrac{3(a+3)^2}{(a-3)^3}}\), \(a\neq\pm 3\).

Пояснение: \(\frac{3}{a-3}=\frac{3(a-3)}{(a-3)^2}\), после умножения на \((a+3)^2\) получаем числитель \(3(a+3)^2\) и знаменатель \((a-3)^3\).

---

Главная идея всех трёх номеров: разложить всё на множители → сократить → собрать ответ; плюс сразу выписать ограничения на знаменатели.

Так, как это пишут в тетради — без рассуждений, только записи.

---

№ 1

\[ \frac{m^2-n^2}{m^2+2mn+n^2}\cdot\left(\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}\right)= \]

\[ =\frac{(m-n)(m+n)}{(m+n)^2}\cdot\frac{(m+n)-(m-n)}{(m-n)(m+n)}= \]

\[ =\frac{m-n}{m+n}\cdot\frac{2n}{(m-n)(m+n)}=\frac{2n}{(m+n)^2} \]

Ответ: \(\dfrac{2n}{(m+n)^2}\)

---

№ 2

\[ \frac{x^2-10x+25}{x^2-25}\cdot\frac{5x+x^2}{x-5}= \]

\[ =\frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)}\cdot\frac{x(x+5)}{x-5}=x \]

Ответ: \(x\)

---

№ 3

\[ \left(\frac{4}{a-3}-\frac{a+3}{a^2-9}\right):\frac{a^2-6a+9}{a^2+6a+9}= \]

\[ =\left(\frac{4}{a-3}-\frac{a+3}{(a-3)(a+3)}\right)\cdot\frac{(a+3)^2}{(a-3)^2}= \]

\[ =\left(\frac{4}{a-3}-\frac{1}{a-3}\right)\cdot\frac{(a+3)^2}{(a-3)^2}= \]

\[ =\frac{3}{a-3}\cdot\frac{(a+3)^2}{(a-3)^2}=\frac{3(a+3)^2}{(a-3)^3} \]

Ответ: \(\dfrac{3(a+3)^2}{(a-3)^3}\)

---

Если учитель требует ограничения, допиши под каждым ответом строкой: \(m\neq\pm n\); \(x\neq\pm 5\); \(a\neq\pm 3\).