Дан куб. Найдите угол между прямой DC1 и плоскостью DA1B1C.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: изображён куб; отмечены вершины $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$; закрашена плоскость $DA_1B_1C$; проведена прямая $DC_1$.]

Дан куб. Найдите угол между прямой $DC_1$ и плоскостью $DA_1B_1C$.

○ 60°
○ 66°
○ 30°
○ 45°
○ 90°

Answer

Краткий ответ: $30^\circ$.

Пусть ребро куба равно $1$. Введём координаты:

$$
A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad C(1,1,0),\quad D(0,1,0),
$$
$$
A_1(0,0,1),\quad B_1(1,0,1),\quad C_1(1,1,1),\quad D_1(0,1,1).
$$

Плоскость $DA_1B_1C$ задаётся уравнением

$$
y+z=1,
$$

поэтому её нормальный вектор:

$$
\vec n=(0,1,1).
$$

Направляющий вектор прямой $DC_1$:

$$
\vec v=\overrightarrow{DC_1}=(1,0,1).
$$

Угол $\varphi$ между прямой и плоскостью находим по формуле

$$
\sin\varphi=
\frac{|\vec v\cdot \vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|}.
$$

Подставляем:

$$
\sin\varphi=
\frac{|1\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot 1|}
{\sqrt{1^2+0^2+1^2}\sqrt{0^2+1^2+1^2}}
=
\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}
=
\frac12.
$$

Значит,

$$
\varphi=30^\circ.
$$

Важно: угол между прямой и нормалью плоскости здесь равен $60^\circ$, но угол между прямой и плоскостью — дополнительный к нему, то есть $30^\circ$.