7. В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 10, sin∠ABC = 1/3. Найдите площадь треугольника ABC.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
7. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 6$, $BC = 10$, $\sin\angle ABC = \frac{1}{3}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
[Рисунок: треугольник $ABC$, вершина $B$ расположена сверху, $A$ и $C$ — внизу.]

8. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 37^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
[Рисунок: треугольник $ABC$, из вершины $B$ на сторону $AC$ опущена высота $BH$.]

9. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $AC = 18$, $MN = 8$. Площадь треугольника $ABC$ равна 81. Найдите площадь треугольника $MBN$.
[Рисунок: треугольник $ABC$; отрезок $MN$ параллелен $AC$, точка $M$ лежит на $AB$, точка $N$ — на $BC$.]

10. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Найдите градусную меру угла $A$, если $\angle C = 65^\circ$ и $BM = AM = MC$.
[Рисунок: треугольник $ABC$, точка $M$ лежит на стороне $AC$, проведён отрезок $BM$.]

Answer

Кратко: 7) 10; 8) 53°; 9) 16; 10) 25°.

Как решать

7. Площадь через две стороны и угол между ними

Используем формулу
$$
S=\frac12 ab\sin\gamma.
$$
Здесь $a=AB=6$, $b=BC=10$, а $\sin\angle ABC=\frac13$:
$$
S=\frac12\cdot 6\cdot 10\cdot \frac13=10.
$$

8. Высота образует прямоугольный треугольник

Так как $BH$ — высота, $\angle AHB=90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABH$:
$$
\angle ABH=90^\circ-\angle BAC=90^\circ-37^\circ=53^\circ.
$$

9. Используем подобие треугольников

Поскольку $MN\parallel AC$, треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны. Коэффициент подобия:
$$
k=\frac{MN}{AC}=\frac{8}{18}=\frac49.
$$
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:
$$
\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}}=k^2=\left(\frac49\right)^2=\frac{16}{81}.
$$
Значит,
$$
S_{MBN}=81\cdot\frac{16}{81}=16.
$$

10. Используем равнобедренные треугольники

В треугольнике $BMC$:
$$
BM=MC,
$$
поэтому углы при основании $B$ и $C$ равны. Угол $C$ равен $65^\circ$, значит, и $\angle MBC=65^\circ$. Тогда
$$
\angle BMC=180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ.
$$
Углы $AMB$ и $BMC$ смежные:
$$
\angle AMB=180^\circ-50^\circ=130^\circ.
$$
В треугольнике $ABM$ стороны $AM=BM$, поэтому углы при основании $A$ и $B$ равны:
$$
\angle A=\frac{180^\circ-130^\circ}{2}=25^\circ.
$$