Дан куб. Определите чему равен угол между прямой A₁D и плоскостью AB₁C₁D. В ответе укажите только число.

Краткий ответ: \(30\)
В поле ввода нужно указать: 30.

Возьмём ребро куба равным \(1\). Введём координаты:

\[ A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad C(1,1,0),\quad D(0,1,0), \] \[ A_1(0,0,1),\quad B_1(1,0,1),\quad C_1(1,1,1). \]

1. Найдём уравнение плоскости \(AB_1C_1D\).

Все её точки удовлетворяют условию \(z=x\), то есть плоскость имеет вид

\[ x-z=0. \]

Её нормальный вектор:

\[ \vec n=(1,0,-1). \]

2. Найдём направляющий вектор прямой \(A_1D\).

\[ \vec v=D-A_1=(0,1,-1). \]

3. Угол между прямой и плоскостью.

Если \(\alpha\) — угол между прямой и плоскостью, то

\[ \sin\alpha= \frac{|\vec v\cdot \vec n|} {|\vec v|\,|\vec n|}. \]

Подставляем:

\[ \sin\alpha= \frac{|0\cdot1+1\cdot0+(-1)\cdot(-1)|} {\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2}. \]

Значит,

\[ \alpha=30^\circ. \]

Проверка: угол между прямой \(A_1D\) и нормалью к плоскости равен \(60^\circ\), поэтому угол с самой плоскостью равен \(90^\circ-60^\circ=30^\circ\).

Ответ: 30.