Задача Задача №3796370
А
А
Дан куб. Определите чему равен угол между прямой B₁D₁ и плоскостью DD₁C₁C
Запрос пользователя
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
[Рисунок: куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\); на верхней грани проведён отрезок \(B_1D_1\).] Дан куб. Определите чему равен угол между прямой \(B_1D_1\) и плоскостью \(DD_1C_1C\) ○ \(60^\circ\) ○ \(45^\circ\) ○ \(90^\circ\) ○ \(30^\circ\) ○ \(120^\circ\)
Ответ: \(45^\circ\) — второй вариант.
Как понять решение
- Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
- Прямая \(B_1D_1\) пересекает плоскость \(DD_1C_1C\) в точке \(D_1\).
- Перпендикуляр из \(B_1\) к этой боковой грани попадает в \(C_1\). Значит, проекция \(B_1D_1\) на плоскость — это \(D_1C_1\).
- Поэтому искомый угол равен \(\angle B_1D_1C_1\).
- Верхняя грань \(A_1B_1C_1D_1\) — квадрат, а \(B_1D_1\) — его диагональ. Диагональ квадрата образует с его стороной угол \(45^\circ\).
Проверка: если ребро куба \(a\), то \[ B_1C_1=a,\qquad B_1D_1=a\sqrt2, \] поэтому \[ \sin\angle B_1D_1C_1=\frac{a}{a\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}, \] откуда угол равен \(45^\circ\).
