Учебник по алгебре 10-11 класс Алимов страница 243 номер 802

Кратко: в № 802 нужно применить правило производной произведения \[ (uv)'=u'v+uv'. \] Здесь везде \(u=x^2\).

\[ \begin{aligned} 1)\quad &y=x^2\sin x, & y'&=2x\sin x+x^2\cos x;\\[2pt] 2)\quad &y=x^2\cos x, & y'&=2x\cos x-x^2\sin x;\\[2pt] 3)\quad &y=x^2\,\mathrm{tg}\,x, & y'&=2x\,\mathrm{tg}\,x+\frac{x^2}{\cos^2 x};\\[2pt] 4)\quad &y=x^2\,\mathrm{ctg}\,x, & y'&=2x\,\mathrm{ctg}\,x-\frac{x^2}{\sin^2 x}. \end{aligned} \]

Как это получается на первом примере: \[ y'=(x^2)'\sin x+x^2(\sin x)' =2x\sin x+x^2\cos x. \]

Использованы производные: \[ (\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x, \] \[ (\mathrm{tg}\,x)'=\frac1{\cos^2 x},\quad (\mathrm{ctg}\,x)'=-\frac1{\sin^2 x}. \]

Проверка принципа: первое слагаемое появляется при дифференцировании \(x^2\), второе — при дифференцировании тригонометрической функции; поэтому в каждом ответе два слагаемых.