822. Из выражений (y − x)², (y + x)², (−y + x)², (−x + y)², (−x − y)² выберите те, которые тождественно равны выражению: а) (x + y)²; б) (x − y)².

Краткий ответ

а) \((y+x)^2\) и \((-x-y)^2\);

б) \((y-x)^2\), \((-y+x)^2\) и \((-x+y)^2\).

Как рассуждать

Главное правило: квадрат «не различает» знак перед скобкой, потому что

\[ (-a)^2=a^2. \]

Отсюда два полезных следствия:

\[ (a-b)^2=(b-a)^2,\qquad (a+b)^2=(-a-b)^2. \]

Теперь разберём каждое выражение:

• \((y-x)^2\) — это \((x-y)^2\), просто слагаемые переставлены местами;
• \((y+x)^2=(x+y)^2\);
• \((-y+x)^2=(x-y)^2\);
• \((-x+y)^2=(y-x)^2=(x-y)^2\);
• \((-x-y)^2=(x+y)^2\).

Проверка раскрытием скобок

\[ (y-x)^2=y^2-2xy+x^2=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2. \]

Аналогично

\[ (y+x)^2=y^2+2xy+x^2=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2. \]

Значит, выбранные выражения действительно тождественно равны.

Вывод: в пункте а) подходят второе и пятое выражения, в пункте б) — первое, третье и четвёртое.