12,13

Question

12,13

Расшифровка фото нейросетью:
12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
а) $\frac{5y-8}{11}$;
б) $\frac{25}{y-9}$;
в) $\frac{y^{2}+1}{y^{2}-2y}$;
г) $\frac{y-10}{y^{2}+3}$;
д) $\frac{y}{y-6}+\frac{15}{y+6}$;
е) $\frac{32}{y}-\frac{y+1}{y+7}$.

13. Найдите область определения функции:
а) $y=\frac{1}{x-2}$;
б) $y=\frac{2x+3}{x(x+1)}$;
в) $y=x+\frac{1}{x+5}$.

Answer

Краткий ответ

12.
а) $y\in\mathbb R$;
б) $y\ne9$;
в) $y\ne0,\ y\ne2$;
г) $y\in\mathbb R$;
д) $y\ne-6,\ y\ne6$;
е) $y\ne-7,\ y\ne0$.

13.
а) $D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$;
б) $D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;+\infty)$;
в) $D(y)=(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty)$.

Как рассуждать

Дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель не равен нулю. Числитель на допустимые значения не влияет. Если дробей несколько, нужно исключить нули всех знаменателей.

Для задания 12:

а) знаменатель $11$ всегда положителен, ограничений нет;

б) $y-9\ne0$, поэтому $y\ne9$;

в) $y^2-2y=y(y-2)\ne0$, поэтому $y\ne0$ и $y\ne2$;

г) $y^2+3\ge3>0$, знаменатель никогда не равен нулю;

д) $y-6\ne0$ и $y+6\ne0$, поэтому $y\ne6,\ y\ne-6$;

е) $y\ne0$ и $y+7\ne0$, поэтому $y\ne0,\ y\ne-7$.

Для задания 13:

а) $x-2\ne0$, значит $x\ne2$;

б) $x(x+1)\ne0$, значит $x\ne0$ и $x\ne-1$;

в) $x+5\ne0$, значит $x\ne-5$.

В ответе для области определения точки, где знаменатель равен нулю, выколоты, поэтому скобки круглые.

Проверка. Если подставить исключённое число, например $y=2$ в 12в или $x=-1$ в 13б, знаменатель станет нулём. При остальных значениях выражение имеет смысл.