757. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E, F, E₁ и F₁ являются серединами рёбер BC, DC, B₁C₁ и D₁C₁ соответственно.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точки \(E\), \(F\), \(E_1\) и \(F_1\) являются серединами рёбер \(BC\), \(DC\), \(B_1C_1\) и \(D_1C_1\) соответственно. Объём призмы, отсекаемой от куба плоскостью \(EFF_1\), равен 1. Найдите объём куба.
[Рисунок: куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\); на рёбрах \(BC\) и \(DC\) отмечены точки \(E\) и \(F\), на рёбрах \(B_1C_1\) и \(D_1C_1\) — точки \(E_1\) и \(F_1\); показаны линии сечения плоскостью \(EFF_1\) и отсекаемая призма.]
Пусть ребро куба равно \(a\). Так как \(EF\parallel E_1F_1\), плоскость \(EFF_1\) содержит \(E_1\) и отсекает прямую треугольную призму \(CEFC_1E_1F_1\) с катетами основания \(\frac a2,\ \frac a2\) и высотой \(a\):
\[ 1=\frac12\cdot\frac a2\cdot\frac a2\cdot a=\frac{a^3}{8}\quad\Rightarrow\quad a^3=8. \]
Ответ: 8.
Обсуждение
2 сообщенияПусть ребро куба равно \(a\). Отсекается треугольная призма с основанием \(EFC\):
\[ EC=FC=\frac a2,\qquad S_{EFC}=\frac12\cdot\frac a2\cdot\frac a2=\frac{a^2}{8}. \]
Высота призмы \(CC_1=a\), поэтому
\[ V_{\text{призмы}}=\frac{a^2}{8}\cdot a=\frac{a^3}{8}=1. \]
Значит, объём куба:
\[ a^3=8. \]
Ответ: \(8\).
