Точка D равноудалена от всех сторон треугольника. Под каким углом от точки D видна самая большая сторона треугольника, если углы треугольника равны 35°, 50° и 95°?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Точка D равноудалена от всех сторон треугольника. Под каким углом от точки D видна самая большая сторона треугольника, если углы треугольника равны 35°, 50° и 95°?
Наибольшая сторона треугольника от точки D видна под углом ___°.
В треугольнике ABC пересекаются биссектрисы ∠A и ∠B. Точка пересечения K соединена с третьей вершиной C. Определи ∠BCK, если ∠AKB = 102°.
Ответ: ∠BCK = ___°.
Краткий ответ
- Самая большая сторона видна под углом \(137{,}5^\circ\), или \(137^\circ30'\).
- \(\angle BCK=12^\circ\).
Почему так
Оба задания опираются на важное свойство: точка, равноудалённая от всех сторон треугольника, и точка пересечения двух биссектрис — это центр вписанной окружности. Через неё проходит и третья биссектриса.
Пусть \(AB\) — наибольшая сторона. Она лежит против угла \(95^\circ\), а углы при \(A\) и \(B\) равны \(35^\circ\) и \(50^\circ\). Точка \(D\) — центр вписанной окружности, поэтому \(AD\) и \(BD\) — биссектрисы. В треугольнике \(ADB\): \[ \angle ADB =180^\circ-\frac{35^\circ}{2}-\frac{50^\circ}{2} =180^\circ-17{,}5^\circ-25^\circ =137{,}5^\circ. \] Проверка: \(17{,}5^\circ+25^\circ+137{,}5^\circ=180^\circ\).
\(K\) — центр вписанной окружности, значит \(CK\) — биссектриса \(\angle C\). Обозначим \(\angle BCK=x\), тогда \(\angle C=2x\). \[ \angle AKB =180^\circ-\frac{\angle A}{2}-\frac{\angle B}{2} =180^\circ-\frac{180^\circ-2x}{2} =90^\circ+x. \] По условию: \[ 102^\circ=90^\circ+x, \] откуда \[ x=12^\circ. \]
Ответ: \(137{,}5^\circ\) и \(12^\circ\).
Обсуждение
5 сообщенийРеши быстрее
- \(137{,}5^\circ = 137^\circ30'\)
- \(12^\circ\)
Реши быстрее
Сделай рисунки к этим задачам
Рисунок 1 (стороны \(AB, BC, CA\); \(D\) — центр вписанной окружности, проведены биссектрисы \(AD\) и \(BD\))
C (95°)
/ \
/ \
/ D \ ∠ADB = 137,5°
/ / \ \
/ / \ \
A-------------B
(35°) (50°)
Помечаем: \(\angle A=35^\circ\), \(\angle B=50^\circ\), \(\angle C=95^\circ\); бо́льшая сторона — \(AB\) (лежит против \(95^\circ\)); дуга при \(D\) — \(137{,}5^\circ\).
Рисунок 2 (\(K\) — центр вписанной окружности, значит \(AK, BK, CK\) — биссектрисы)
C (∠C = 24°)
/ \
/ \
/ K \ ∠AKB = 102°
/ / \ \
/ / \ \
A-------------B
Помечаем: \(\angle AKB=102^\circ\), луч \(CK\) делит \(\angle C\) пополам, поэтому \(\angle BCK=12^\circ\).
Если чертишь в тетради: сначала отложи \(AB\), от \(A\) и \(B\) проведи лучи под данными углами — точка их пересечения даст \(C\) (в задаче 1 угол \(C\) сам получится \(95^\circ\)); затем проведи две биссектрисы, их пересечение и есть \(D\) (или \(K\)).
