все свойства равнобедренной трапеции

Краткий ответ

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны (\(AB=CD\)). У неё есть «особые» свойства, которых нет у обычной трапеции:

1. углы при каждом основании равны;
2. диагонали равны;
3. есть ось симметрии — прямая через середины оснований;
4. около неё всегда можно описать окружность;
5. вписать окружность можно только при \(a+b=2c\).

Свойства подробно

Пусть \(AD\parallel BC\), \(AD=a\) — большее основание, \(BC=b\) — меньшее, \(AB=CD=c\), высота \(h\), диагонали \(AC=BD=d\).

1. Углы. Углы при каждом основании равны: \[ \angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C. \] При этом \(\angle A+\angle B=180^\circ\) (внутренние односторонние при параллельных прямых).

2. Диагонали равны: \(AC=BD\). Кроме того, диагонали образуют с основаниями равные углы: \(\angle CAD=\angle BDA\).

3. Высоты. Высоты, опущенные из вершин верхнего основания, отсекают равные прямоугольные треугольники и прямоугольник посередине. Поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна \[ \frac{a-b}{2},\qquad h=\sqrt{c^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}}. \] Большее основание делится на части \(\frac{a-b}{2}\), \(b\), \(\frac{a-b}{2}\).

4. Ось симметрии. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна им и является осью симметрии трапеции. На ней лежат точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон.

5. Диагонали и подобие. Если диагонали пересекаются в точке \(O\), то \[ \frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{a}{b}, \] а треугольники \(AOD\) и \(BOC\) подобны с коэффициентом \(\frac{a}{b}\); оба они равнобедренные.

6. Описанная окружность. Около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность: \(\angle A+\angle C=180^\circ\). Центр окружности лежит на оси симметрии.

7. Вписанная окружность. Окружность можно вписать тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон: \[ a+b=2c \;\Longleftrightarrow\; c=\frac{a+b}{2}. \] В этом случае \[ h=\sqrt{ab},\qquad r=\frac{\sqrt{ab}}{2}. \]

8. Связь диагонали со сторонами (из теоремы Птолемея, так как трапеция вписанная): \[ d^{2}=c^{2}+ab. \]

Почему свойства выполняются

Равенство углов. Опустим высоты \(BH\) и \(CK\). Треугольники \(ABH\) и \(DCK\) прямоугольные, у них равны гипотенузы (\(AB=CD\)) и катеты (\(BH=CK=h\)). Значит, они равны, поэтому \(\angle A=\angle D\) и \(AH=KD=\frac{a-b}{2}\).

Равенство диагоналей. Сравним треугольники \(ABC\) и \(DCB\): \(AB=DC\), сторона \(BC\) общая, \(\angle ABC=\angle DCB\) (углы при верхнем основании). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит \(AC=BD\).

Обратные утверждения (признаки)

Трапеция является равнобедренной, если:

• углы при одном основании равны;
• диагонали равны;
• около неё можно описать окружность.

Формулы-шпаргалка

\[ h=\sqrt{c^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}},\qquad d^{2}=c^{2}+ab, \] \[ S=\frac{a+b}{2}\,h,\qquad S=\frac{1}{2}d^{2}\sin\varphi, \] где \(\varphi\) — угол между диагоналями.

Проверка на примере

Дано: \(a=12\), \(b=6\), \(c=5\). \[ h=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4,\qquad d^{2}=25+72=97 \Rightarrow d=\sqrt{97}. \] Проверим по координатам: \(A(-6;0)\), \(D(6;0)\), \(B(-3;4)\), \(C(3;4)\). Тогда \(AC=\sqrt{9^{2}+4^{2}}=\sqrt{97}\) и \(BD=\sqrt{9^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{97}\) — диагонали действительно равны. Площадь \(S=\frac{12+6}{2}\cdot 4=36\).

Главный приём для задач: опустить две высоты — трапеция распадается на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника, и почти любое свойство доказывается через них.