3. Основания трапеции равны 5 см и 9 см. Чему равны отрезки, на которые диагональ трапеции делит её среднюю линию?

Краткий ответ: диагональ делит среднюю линию на отрезки \(2{,}5\) см и \(4{,}5\) см.

Почему так

Пусть трапеция \(ABCD\) имеет основания \(BC = 5\) см и \(AD = 9\) см. Средняя линия \(MN\) соединяет середины боковых сторон: \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(CD\). Диагональ \(AC\) пересекает \(MN\) в точке \(P\). Нужно найти \(MP\) и \(PN\).

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, поэтому \(MP \parallel BC\). В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) — середина стороны \(AB\), а прямая, проходящая через середину стороны параллельно основанию, делит вторую боковую сторону пополам. Значит, \(P\) — середина \(AC\), и \(MP\) — средняя линия треугольника \(ABC\): \[ MP = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5\ \text{см}. \]

2. Точно так же в треугольнике \(ACD\) отрезок \(PN\) соединяет середины сторон \(AC\) и \(CD\), то есть является его средней линией: \[ PN = \frac{AD}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5\ \text{см}. \]

Проверка. Вся средняя линия трапеции: \[ MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7\ \text{см}, \] и \(2{,}5 + 4{,}5 = 7\) — сходится.

Общее правило: диагональ разрезает трапецию на два треугольника, и средняя линия трапеции внутри каждого из них работает как средняя линия треугольника. Поэтому куски средней линии равны половинам соответствующих оснований — этот приём пригодится в любой похожей задаче.