Задание 1. На рисунке PC = CT, MC = CN, ∠M = ∠N. Докажите, что треугольники NTM и MPN равны.

На фото три задания — разберу все.

Кратко:

1. \(\triangle NTM\cong\triangle MPN\) по первому признаку.
2. \(\angle D=\angle W\) по второму признаку.
3. \(K=3,\ P=9,\ M=5\), проверка: \(3{,}95+5{,}55=9{,}5\).

Задание 1

Так как \(C\) лежит на отрезках \(MT\) и \(PN\), то \[ MT=MC+CT,\qquad PN=PC+CN. \] По условию \(MC=CN\) и \(PC=CT\), поэтому \[ MT=CN+PC=PN. \]

Рассмотрим \(\triangle NTM\) и \(\triangle MPN\):

1. \(MT=PN\) — доказано;
2. \(MN\) — общая сторона;
3. \(\angle TMN=\angle PNM\) — по условию \(\angle M=\angle N\).

Значит, треугольники равны по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.

\[ \boxed{\triangle NTM\cong\triangle MPN} \]

Задание 2

Чертёж: четырёхугольник \(DSWM\), проведена диагональ \(SM\).

Дано: \[ \angle MSD=\angle SMW,\qquad \angle SMD=\angle MSW. \]

Доказать: \[ \angle D=\angle W. \]

Доказательство.

Рассмотрим \(\triangle MSD\) и \(\triangle SMW\).

1. \(MS\) — общая сторона.
2. \(\angle MSD=\angle SMW\) — по условию.
3. \(\angle SMD=\angle MSW\) — по условию.

В каждом треугольнике эти два угла прилежат к стороне \(MS\). Поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам:

\[ \triangle MSD\cong\triangle SMW. \]

В равных треугольниках соответственные углы равны, значит \[ \angle SDM=\angle SWM, \] то есть \[ \boxed{\angle D=\angle W}. \]

Задание 3

Припишем к результату \(P,M\) нуль в сотых: \[ \begin{array}{r} K,PM\\ +\,M,MM\\ \hline P,M0 \end{array} \]

1. В сотых: \(M+M\) даёт \(0\), поэтому \(M=5\) и перенос \(1\) в десятые.
2. В десятых: \[ P+5+1=5+10, \] отсюда \[ P=9. \]
3. В единицах: \[ K+5+1=9, \] значит \[ K=3. \]

Проверка: \[ 3{,}95+5{,}55=9{,}50=9{,}5. \]

\[ \boxed{K=3,\quad P=9,\quad M=5} \]