Какой корень?

Кратко

В действительных числах ответа нет: \(\sqrt{-2}\) и \(\sqrt{-3}\) не существуют, поэтому и произведение не имеет значения. Если разрешены комплексные числа, то

\[ \sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}=-\sqrt{6}. \]

Почему так

1. Что такое квадратный корень. \(\sqrt{a}\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Квадрат действительного числа отрицательным не бывает, значит \(\sqrt{-2}\) в \(\mathbb{R}\) просто не определён. Нельзя умножить то, чего нет.

2. Где ловушка. Соблазнительный ход — применить правило \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) и получить \(\sqrt{6}\). Но это правило верно только при \(a\ge 0\) и \(b\ge 0\). К отрицательным подкоренным его применять нельзя.

3. Проверка правила «на противоречие». Если бы правило работало всегда, то \[ \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{1}=1. \] Но \(\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=(\sqrt{-1})^2=-1\). Получили \(1=-1\) — значит, правило здесь неприменимо.

4. Комплексный вариант. Вводят \(i\), где \(i^2=-1\), и берут \(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\) при \(a>0\): \[ \sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}=i\sqrt{2}\cdot i\sqrt{3}=i^{2}\sqrt{6}=-\sqrt{6}. \]

Проверка

Квадрат результата должен равняться \((-2)\cdot(-3)=6\): \[ (-\sqrt{6})^2=6. \] Сходится. Численно \(-\sqrt{6}\approx-2{,}45\).

Вывод для похожих заданий: сначала смотри на знаки под корнями. Оба неотрицательны — можно объединять под один корень; есть отрицательные — в школьном курсе пиши «выражение не имеет смысла», а в комплексных числах выноси \(i\) и следи за \(i^2=-1\).