Решить задание 290, 292,293

Краткий ответ

290. Все равенства верны:
а) \(\sqrt{121}=11\); б) \(\sqrt{169}=13\); в) \(\sqrt{1,44}=1,2\); г) \(\sqrt{0,49}=0,7\).

292.
а) \(30\); б) \(0,1\); в) \(0,8\); г) \(1\frac{3}{8}=1,375\); д) \(2,5\).

293.
а) при \(a=33,\ b=-8\): \(5\); при \(a=0,65,\ b=0,16\): \(0,9\);
б) при \(x=23\): \(8\); при \(x=1,83\): \(0,7\);
в) \(0;\ 0,11;\ 0,96;\ 1,44;\ 2;\ 30;\ 110;\ 3660\).

Правило

Арифметический квадратный корень \(\sqrt a\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).
То есть \(\sqrt a=b\), если \(b\ge 0\) и \(b^2=a\).

Поэтому корень из дроби извлекаем отдельно из числителя и знаменателя, а смешанное число сначала переводим в неправильную дробь.

290. Доказательство

Достаточно показать, что число справа неотрицательно и его квадрат равен подкоренному числу.

а) \(11\ge 0\), \(11^2=121\), значит \(\sqrt{121}=11\).
б) \(13^2=169\), значит \(\sqrt{169}=13\).
в) \(1,2^2=1,44\), значит \(\sqrt{1,44}=1,2\).
г) \(0,7^2=0,49\), значит \(\sqrt{0,49}=0,7\).
Важно: берём именно \(0,7\), а не \(-0,7\), потому что арифметический корень неотрицателен.

292. Вычисления

а) \(30^2=900\), поэтому
\[ \sqrt{900}=30. \]

б) \(0,1^2=0,01\), поэтому
\[ \sqrt{0,01}=0,1. \]

в) \(0,8^2=0,64\), поэтому
\[ \sqrt{0,64}=0,8. \]

г)
\[ \sqrt{\frac{121}{64}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{64}}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8}=1,375. \]

д) Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь: \[ 6\frac14=\frac{25}{4}. \] Тогда \[ \sqrt{6\frac14}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2,5. \]

293. Значение выражения

Сначала подставляем число, считаем подкоренное выражение, затем извлекаем корень.

а) \(\sqrt{a+b}\).

При \(a=33,\ b=-8\): \[ \sqrt{33+(-8)}=\sqrt{25}=5. \]

При \(a=0,65,\ b=0,16\): \[ \sqrt{0,65+0,16}=\sqrt{0,81}=0,9. \]

б) \(\sqrt{3x-5}\).

При \(x=23\): \[ \sqrt{3\cdot 23-5}=\sqrt{69-5}=\sqrt{64}=8. \]

При \(x=1,83\): \[ \sqrt{3\cdot 1,83-5}=\sqrt{5,49-5}=\sqrt{0,49}=0,7. \]

в) \(x+\sqrt{x}\).

Проверка

Возведём полученные корни обратно в квадрат:
\(5^2=25\), \(0,9^2=0,81\), \(8^2=64\), \(0,7^2=0,49\).
Для 292: \(30^2=900\), \(0,1^2=0,01\), \(0,8^2=0,64\), \(\left(\frac{11}{8}\right)^2=\frac{121}{64}\), \(2,5^2=6,25=6\frac14\).
Все значения сходятся, и все корни неотрицательны — я проверил.