развернутое решение

Кратко: №2 — \(BO=7\) см; №7 — \(72^\circ\); №12 — \(P_{\triangle AOB}=15\) см.

Общее свойство. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \[ AC=BD,\qquad AO=OC=BO=OD=\frac{AC}{2}. \]

№ 2

Дано \(AC=14\) см. Диагонали прямоугольника равны, значит: \[ BD=AC=14\text{ см}. \] Точка \(O\) делит \(BD\) пополам, поэтому: \[ BO=\frac{BD}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ см}. \]

Ответ: \(7\) см.

№ 7

В треугольнике \(COD\): \[ OC=OD, \] так как половины диагоналей прямоугольника равны. Значит, треугольник \(COD\) равнобедренный, и углы при основании \(CD\) равны: \[ \angle OCD=\angle ODC=54^\circ. \] Тогда угол при вершине \(O\): \[ \angle COD=180^\circ-54^\circ-54^\circ=72^\circ. \] Это и есть острый угол между диагоналями; смежный с ним угол равен \(108^\circ\).

Ответ: \(72^\circ\).

№ 12

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\). В нём \(\angle ADB=30^\circ\), а гипотенуза \(BD=10\) см. Сторона \(AB\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому: \[ AB=BD\cdot \sin30^\circ=10\cdot \frac12=5\text{ см}. \] Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам: \[ AO=BO=\frac{BD}{2}=5\text{ см}. \] Значит, периметр треугольника \(AOB\): \[ P_{\triangle AOB}=AO+BO+AB=5+5+5=15\text{ см}. \]

Ответ: \(15\) см.

Проверка. В №7: \(54^\circ+54^\circ+72^\circ=180^\circ\). В №12: \(5^2+(5\sqrt3)^2=25+75=100=10^2\), то есть данные согласованы.