реши развëрнуто

Ниже — максимально подробный разбор: для каждой задачи указано, что дано, что нужно найти, какие свойства прямоугольника используются и почему каждый шаг законен.

---

Вспомогательный «набор свойств» прямоугольника

Именно на них держатся все три задачи:

1. Все углы прямоугольника прямые (\(90^\circ\)).
2. Противоположные стороны равны: \(AB=CD\), \(AD=BC\).
3. Диагонали прямоугольника равны: \(AC=BD\). (Это следствие равенства прямоугольных треугольников \(ABD\) и \(DCA\) по двум катетам: \(AB=CD\), \(AD\) — общая.)
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: \(AO=OC\), \(BO=OD\).
5. Из пунктов 3 и 4 следует ключевой для задач факт: \[ AO=BO=CO=DO=\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}, \] то есть точка пересечения диагоналей равноудалена от всех четырёх вершин. Поэтому вокруг прямоугольника можно описать окружность с центром в \(O\) и радиусом \(R=\frac{d}{2}\), где \(d\) — диагональ.

---

Задача №2

Дано: прямоугольник \(ABCD\), диагонали пересекаются в точке \(O\), \(AC=14\) см.

Найти: \(BO\).

Решение.

1. По свойству 3 диагонали прямоугольника равны, значит \[ BD=AC=14\text{ см}. \]

2. По свойству 4 точка \(O\) делит диагональ \(BD\) пополам, то есть \(BO=OD\). Поэтому \[ BO=\frac{BD}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ см}. \]

Проверка: \(BO+OD=7+7=14=BD\) — верно; кроме того, \(BO\) равно радиусу описанной окружности \(R=\frac{AC}{2}=7\) см, что согласуется со свойством 5.

Ответ: \(BO=7\) см.

Типичная ошибка: взять \(BO=\frac{AC}{4}\) или решить, что \(BO\ne OD\). Диагонали делятся пополам, а не в отношении \(1:3\), — потому и получается ровно половина.

---

Задача №7

Дано: прямоугольник \(ABCD\), \(O\) — точка пересечения диагоналей, угол между диагональю \(AC\) и стороной \(CD\) равен \(54^\circ\), то есть \(\angle OCD=54^\circ\).

Найти: меньший угол между диагоналями.

Решение.

1. По свойству 5: \[ OC=OD. \] Значит, треугольник \(OCD\) — равнобедренный с основанием \(CD\).

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \[ \angle ODC=\angle OCD=54^\circ. \]

3. Сумма углов треугольника \(OCD\) равна \(180^\circ\), значит угол при вершине \(O\): \[ \angle COD=180^\circ-54^\circ-54^\circ=72^\circ. \]

4. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов, в сумме дающих \(180^\circ\). Второй (смежный) угол между диагоналями: \[ \angle BOC=180^\circ-72^\circ=108^\circ. \]

5. Меньший из двух углов — это \(72^\circ\).

Проверка: углы между диагоналями \(72^\circ\) и \(108^\circ\), их сумма \(180^\circ\). Кроме того, \(\angle AOB=\angle COD=72^\circ\) как вертикальные, а треугольник \(AOB\) равнобедренный (\(AO=BO\)) с углами при основании \(\frac{180^\circ-72^\circ}{2}=54^\circ\) — те же \(54^\circ\), что и в условии, всё согласовано.

Ответ: меньший угол между диагоналями равен \(72^\circ\).

Типичная ошибка: записать в ответ \(108^\circ\) — это больший угол; либо посчитать \(180^\circ-54^\circ=126^\circ\), забыв, что в треугольнике два равных угла по \(54^\circ\).

---

Задача №12

Дано: прямоугольник \(ABCD\), \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(BD=10\) см, \(\angle ADB=30^\circ\).

Найти: периметр треугольника \(AOB\).

Решение.

Шаг 1. Находим половины диагоналей. По свойствам 3 и 4: \[ AO=BO=\frac{BD}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см}. \]

Шаг 2. Находим сторону \(AB\). Рассмотрим треугольник \(ABD\). Он прямоугольный: \(\angle BAD=90^\circ\) (свойство 1), а \(BD\) — его гипотенуза. Угол \(\angle ADB=30^\circ\) лежит против катета \(AB\), поэтому работает свойство катета против угла \(30^\circ\): он равен половине гипотенузы. \[ AB=\frac{BD}{2}=5\text{ см}, \] или, через синус: \[ AB=BD\cdot\sin 30^\circ=10\cdot\frac{1}{2}=5\text{ см}. \]

Шаг 3. Считаем периметр треугольника \(AOB\). Его стороны: \(AO=5\), \(BO=5\), \(AB=5\), значит \[ P_{AOB}=AO+BO+AB=5+5+5=15\text{ см}. \]

Проверка (полезное наблюдение). Можно показать, что треугольник \(AOB\) равносторонний. Действительно, в треугольнике \(AOD\): \(AO=OD\), а \(\angle ADO=30^\circ\), поэтому \(\angle OAD=30^\circ\) и \[ \angle AOD=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ, \] откуда смежный \(\angle AOB=60^\circ\). Равнобедренный треугольник с углом \(60^\circ\) при вершине — равносторонний, значит \(AB=AO=BO=5\) см. Результат тот же: \(P=15\) см. Дополнительно \(AD=BD\cdot\cos30^\circ=5\sqrt3\) см — эта величина в ответ не входит, но полезна для самопроверки.

Ответ: \(P_{AOB}=15\) см.

Типичная ошибка: сложить все три стороны треугольника \(AOB\) и ещё раз «удвоить», либо взять \(AB=\frac{BD}{4}\).

---

Итог

Задача	Что нашли	Ответ
№2	половину диагонали	\(BO=7\) см
№7	меньший угол между диагоналями	\(72^\circ\)
№12	периметр \(\triangle AOB\)	\(15\) см

Общая идея всех трёх задач: диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому при точке пересечения всегда образуются равнобедренные треугольники — с ними и работаем.