номер 124

Кратко:
\[ KF=8\text{ см},\qquad \angle DEK=86^\circ,\qquad \angle EFD=90^\circ. \]

Почему так:

1. \(EF\) — биссектриса угла \(DEK\), поэтому она делит его пополам: \[ \angle DEF=\angle FEK=43^\circ. \] Значит, \[ \angle DEK=43^\circ+43^\circ=86^\circ. \]

2. Треугольник \(DEK\) равнобедренный с основанием \(DK\), поэтому \[ DE=EK. \]

3. Рассмотрим треугольники \(DEF\) и \(KEF\):

• \(DE=EK\);
• \(EF\) — общая сторона;
• \(\angle DEF=\angle KEF\).

Значит, \(\triangle DEF=\triangle KEF\) по двум сторонам и углу между ними.
Тогда соответственные элементы равны: \[ DF=KF,\qquad \angle DFE=\angle KFE. \]

4. Точки \(D\), \(F\), \(K\) лежат на одной прямой, а углы \(\angle DFE\) и \(\angle KFE\) смежные и равные. Их сумма \(180^\circ\), поэтому каждый равен \(90^\circ\): \[ \angle EFD=90^\circ. \]

5. Так как \(DF=KF\), то \(F\) — середина \(DK\): \[ KF=\frac{DK}{2}=\frac{16}{2}=8\text{ см}. \]

Проверка: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \[ \angle EDK=\angle EKD=\frac{180^\circ-86^\circ}{2}=47^\circ. \] Всё согласуется.