11,12
Сверь числа и знаки с фото.
11 KL = x [Рисунок: четырёхугольник \(MNEF\); \(NE = 7\), \(MF = 13\); точка \(K\) лежит на стороне \(MN\), точка \(L\) — на стороне \(EF\); отрезок \(KL\) пересекает диагональ \(ME\) в точке \(T\); на сторонах \(MN\) и \(EF\) нанесены отметки равных отрезков.] 12 [Рисунок: трапеция \(ABCD\); \(BC = 6\), \(AD = 15\); точки \(E\) и \(F\) лежат на боковых сторонах \(AB\) и \(CD\) соответственно; через \(E\) и \(F\) проведён отрезок \(EF\), пересекающий диагонали \(AC\) и \(BD\) в точках \(M\) и \(N\) (слева направо: \(E, M, N, F\)); между \(M\) и \(N\) обозначено \(x\); на сторонах \(AB\) и \(CD\) нанесены отметки равных отрезков.]
Ответ: 11) \(x=10\); 12) \(x=4{,}5\).
№ 11. В трапеции \(MNEF\) основания \(NE=7\) и \(MF=13\). Точки \(K\) и \(L\) — середины боковых сторон, значит, \(KL\) — средняя линия трапеции. Она равна полусумме оснований: \[ KL=\frac{NE+MF}{2}=\frac{7+13}{2}=10. \] Проверка: \(10\) действительно находится ровно посередине между \(7\) и \(13\). Диагональ и точка \(T\) на длину средней линии не влияют.
№ 12. В трапеции \(ABCD\) основания \(BC=6\), \(AD=15\). Точки \(E\) и \(F\) — середины боковых сторон, поэтому \(EF\) — средняя линия трапеции.
Пусть \(M\) — точка пересечения \(EF\) с диагональю \(AC\), а \(N\) — с диагональю \(BD\).
В треугольнике \(ABC\): \(E\) — середина \(AB\), \(EM\parallel BC\). Значит, \(EM\) — средняя линия треугольника: \[ EM=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3. \]
В треугольнике \(ABD\): \(E\) — середина \(AB\), \(EN\parallel AD\). Значит: \[ EN=\frac{AD}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5. \]
Тогда \[ MN=EN-EM=7{,}5-3=4{,}5. \]
То есть \(x=4{,}5\), или \(\frac{9}{2}\).
Проверка: вся средняя линия \(EF=\frac{6+15}{2}=10{,}5\), а \(3+4{,}5+3=10{,}5\).
Общий приём: средняя линия трапеции равна полусумме оснований; отрезок между точками пересечения диагоналей со средней линией равен полуразности оснований.
Обсуждение
2 сообщения11. \(KL = 10\).
Как получили:
- По засечкам \(K\) — середина \(MN\), а \(T\) — середина \(ME\).
- В треугольнике \(MNE\) отрезок \(KT\) — средняя линия, поэтому \[ KT = \frac{NE}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5. \]
- В треугольнике \(MFE\) отрезок \(TL\) — средняя линия, поэтому \[ TL = \frac{MF}{2} = \frac{13}{2} = 6{,}5. \]
- Значит, \[ KL = KT + TL = 3{,}5 + 6{,}5 = 10. \]
Тот же результат даёт формула средней линии трапеции: \[ KL = \frac{NE + MF}{2} = \frac{7 + 13}{2} = 10. \]
12. \(x = 4{,}5\).
Как получили:
- \(E\) и \(F\) — середины боковых сторон, значит \(EF\) — средняя линия трапеции: \[ EF = \frac{BC + AD}{2} = \frac{6 + 15}{2} = 10{,}5. \]
- \(EM\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \[ EM = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3. \]
- \(NF\) — средняя линия треугольника \(BCD\), поэтому \[ NF = \frac{BC}{2} = 3. \]
- Тогда \[ x = MN = EF - EM - NF = 10{,}5 - 3 - 3 = 4{,}5. \]
Можно запомнить коротко: отрезок средней линии трапеции между диагоналями равен полуразности оснований: \[ MN = \frac{AD - BC}{2} = \frac{15 - 6}{2} = 4{,}5. \]
Ответы: 11) \(10\); 12) \(4{,}5\).
