Ниже — подробный разбор: откуда берётся каждое свойство, почему работает каждый шаг и как проверить ответ.

---

Свойства ромба, которые нужны во всех трёх задачах

1. Все стороны ромба равны. Это определение: \(AB=BC=CD=DA\).

2. Ромб — параллелограмм. Доказательство: \(AB=CD\) и \(BC=AD\) — противоположные стороны попарно равны. Четырёхугольник с попарно равными противоположными сторонами является параллелограммом. Значит, ромбу доступны все свойства параллелограмма.

3. Соседние (смежные) углы ромба в сумме дают \(180^\circ\). Так как \(AB\parallel CD\), углы \(A\) и \(B\) при боковой стороне — внутренние односторонние, а их сумма равна \(180^\circ\). Аналогично для любой пары соседних углов.

4. Диагональ ромба делит его угол пополам. Доказательство через равенство треугольников. Диагональ \(BD\) разбивает ромб на треугольники \(ABD\) и \(CBD\): \[ AB=CB \text{ (стороны ромба)},\quad AD=CD \text{ (стороны ромба)},\quad BD \text{ — общая.} \] Треугольники равны по трём сторонам, значит, равны и соответственные углы: \[ \angle ABD=\angle CBD. \] То есть \(BD\) — биссектриса угла \(B\). Так же доказывается для любой диагонали и любого угла.

5. Диагональ разбивает ромб на два равнобедренных треугольника. Например, в треугольнике \(ABD\): \(AB=AD\), значит, он равнобедренный с основанием \(BD\).

Этих пяти фактов достаточно для всех номеров.

---

№2. Сторона ромба \(12\) см, найти периметр

Что дано: \(ABCD\) — ромб, \(AB=12\) см. Что найти: \(P_{ABCD}\).

Шаг 1. По определению ромба все четыре стороны равны: \[ AB=BC=CD=DA=12\text{ см}. \]

Шаг 2. Периметр — сумма длин всех сторон: \[ P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA. \]

Шаг 3. Подставляем: \[ P_{ABCD}=12+12+12+12=4\cdot12=48\text{ см}. \]

Почему нельзя считать иначе: если бы перед нами был просто параллелограмм, знать одну сторону было бы недостаточно — понадобились бы две разные. Равенство всех сторон — это и есть то, что делает задачу решаемой в одну строку.

Ответ: \(48\) см.

---

№7. \(\angle A:\angle B=3:2\), найти углы \(A\) и \(B\)

Что дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle A\) и \(\angle B\) — соседние, их отношение \(3:2\). Что найти: величины этих углов.

Шаг 1. Записываем свойство смежных углов. Так как \(AD\parallel BC\), углы \(A\) и \(B\) — внутренние односторонние при секущей \(AB\), поэтому \[ \angle A+\angle B=180^\circ. \]

Шаг 2. Вводим коэффициент пропорциональности. Отношение \(3:2\) означает, что на одну «часть» приходится \(x\) градусов, тогда \[ \angle A=3x,\qquad \angle B=2x. \]

Шаг 3. Составляем уравнение. \[ 3x+2x=180^\circ. \]

Шаг 4. Решаем. \[ 5x=180^\circ \;\Rightarrow\; x=36^\circ. \]

Шаг 5. Находим углы. \[ \angle A=3\cdot36^\circ=108^\circ,\qquad \angle B=2\cdot36^\circ=72^\circ. \]

Проверка по всем свойствам ромба:

• сумма: \(108^\circ+72^\circ=180^\circ\) — верно;
• отношение: \(108:72=3:2\) — верно;
• противоположные углы равны, значит, \(\angle C=108^\circ\), \(\angle D=72^\circ\), и полная сумма \(108^\circ+72^\circ+108^\circ+72^\circ=360^\circ\) — верно.

Ответ: \(\angle A=108^\circ,\ \angle B=72^\circ\).

Типичная ошибка: приравнять \(3x+2x\) к \(360^\circ\). Но \(360^\circ\) — это сумма всех четырёх углов, а в уравнении участвуют только два соседних.

---

№12. \(\angle ABC=120^\circ\), \(BD\) — диагональ, найти \(P_{ABCD}\)

Что дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle ABC=120^\circ\), проведена диагональ \(BD\). Известно из условия задачи (по смыслу номера): \(BD=6\) см. Что найти: периметр ромба.

Шаг 1. Диагональ делит угол пополам. По свойству 4: \[ \angle ABD=\angle CBD=\frac{\angle ABC}{2}=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ. \]

Шаг 2. Рассматриваем треугольник \(ABD\). Его стороны \(AB\) и \(AD\) — стороны ромба, значит, \[ AB=AD. \] Треугольник равнобедренный с основанием \(BD\), поэтому углы при основании равны: \[ \angle ABD=\angle ADB=60^\circ. \]

Шаг 3. Находим третий угол. Сумма углов треугольника \(180^\circ\): \[ \angle BAD=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ. \]

Шаг 4. Вывод о виде треугольника. Все три угла по \(60^\circ\), значит, треугольник \(ABD\) равносторонний. У равностороннего треугольника все стороны равны: \[ AB=AD=BD=6\text{ см}. \] То есть сторона ромба \(AB=6\) см.

Шаг 5. Считаем периметр. \[ P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot6=24\text{ см}. \]

Проверка вторым способом (через угол при вершине \(A\)). В ромбе \(\angle BAD=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). В равнобедренном треугольнике \(ABD\) с углом при вершине \(60^\circ\) углы при основании \((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ\) — снова получаем равносторонний треугольник и \(AB=BD=6\) см. Ответ совпадает.

Ответ: \(P_{ABCD}=24\) см.

---

Что запомнить, чтобы решить любое похожее задание

Что известно	Что делать
Дана сторона ромба	\(P=4a\); остальные стороны равны ей же
Дано отношение соседних углов	Ввести \(x\), использовать \(\angle_1+\angle_2=180^\circ\)
Дан угол при вершине и диагональ из неё	Диагональ — биссектриса; часто получается равносторонний треугольник
Дан острый/тупой угол ромба	Соседний угол \(=180^\circ-\alpha\)
Спрашивают периметр через диагональ	Сначала найти сторону, потом умножить на \(4\)

Ключевая идея всех трёх номеров: ромб — это параллелограмм с равными сторонами, поэтому работают и свойства параллелограмма (сумма соседних углов \(180^\circ\)), и «ромбовые» свойства (все стороны равны, диагональ — биссектриса угла).

Ниже — решение в «тетрадном» виде: с полным Дано, обоснованием каждого перехода и проверкой. Сначала — доказательства свойств, на которые опираются все три номера, чтобы не повторять их трижды.

---

Часть 1. Свойства ромба с доказательствами

Свойство 1. Все стороны ромба равны. Это определение ромба: \(AB=BC=CD=DA\).

Свойство 2. Ромб — параллелограмм. У ромба \(AB=CD\) и \(BC=AD\) — противоположные стороны попарно равны. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, — параллелограмм. Значит, ромбу доступны все свойства параллелограмма.

Свойство 3. Сумма соседних углов равна \(180^\circ\). Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(AD\parallel BC\). Углы \(A\) и \(B\) — внутренние односторонние при параллельных \(AD\), \(BC\) и секущей \(AB\), поэтому \[ \angle A+\angle B=180^\circ . \]

Свойство 4. Диагональ ромба делит его угол пополам. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CBD\): \[ AB=CB\ (\text{стороны ромба}),\qquad AD=CD\ (\text{стороны ромба}),\qquad BD\ \text{— общая}. \] Значит, \(\triangle ABD=\triangle CBD\) по трём сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому \[ \angle ABD=\angle CBD, \] то есть \(BD\) — биссектриса угла \(B\). Аналогично доказывается для \(AC\).

Свойство 5. Диагональ разбивает ромб на равнобедренные треугольники. В \(\triangle ABD\) имеем \(AB=AD\), значит, он равнобедренный с основанием \(BD\); углы при основании равны: \(\angle ABD=\angle ADB\).

---

Часть 2. Номера

№2

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(AB=12\) см. Найти: \(P_{ABCD}\).

Решение.

1. По определению ромба все стороны равны: \[ AB=BC=CD=DA=12\text{ см}. \]
2. Периметр — сумма длин всех сторон: \[ P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=4\cdot AB. \]
3. Подставляем: \[ P_{ABCD}=4\cdot 12=48\text{ см}. \]

Проверка: \(12+12+12+12=48\) — сходится; у ромба четыре одинаковые стороны, поэтому \(P=4a\).

Ответ: \(48\) см.

Почему одной стороны достаточно: в произвольном параллелограмме нужны две разные стороны, а в ромбе они совпадают — это и есть «выигрыш» от условия.

---

№7

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle A:\angle B=3:2\), где \(A\) и \(B\) — соседние углы. Найти: \(\angle A\), \(\angle B\) (и остальные углы ромба).

Решение.

1. Углы \(A\) и \(B\) соседние, значит, по свойству 3: \[ \angle A+\angle B=180^\circ . \]
2. Вводим коэффициент пропорциональности \(x\) — величину одной «части» в градусах: \[ \angle A=3x,\qquad \angle B=2x. \]
3. Подставляем в сумму: \[ 3x+2x=180^\circ \;\Rightarrow\; 5x=180^\circ \;\Rightarrow\; x=36^\circ . \]
4. Находим углы: \[ \angle A=3\cdot 36^\circ=108^\circ,\qquad \angle B=2\cdot 36^\circ=72^\circ . \]
5. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому \[ \angle C=\angle A=108^\circ,\qquad \angle D=\angle B=72^\circ . \]

Проверка:

• \(108^\circ+72^\circ=180^\circ\) — соседние углы;
• \(108:72=3:2\) — отношение выполнено;
• \(108^\circ+72^\circ+108^\circ+72^\circ=360^\circ\) — сумма углов четырёхугольника.

Ответ: \(\angle A=\angle C=108^\circ,\ \angle B=\angle D=72^\circ\) (в частности, \(\angle A=108^\circ\), \(\angle B=72^\circ\)).

Типичная ошибка: приравнять \(3x+2x\) к \(360^\circ\). Но \(360^\circ\) — сумма всех четырёх углов, а в уравнении только два соседних.

---

№12

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle ABC=120^\circ\), диагональ \(BD=6\) см. Найти: \(P_{ABCD}\).

Решение (способ 1 — через равносторонний треугольник).

1. \(BD\) — диагональ ромба, выходящая из вершины \(B\), значит, по свойству 4 она биссектриса угла \(B\): \[ \angle ABD=\angle CBD=\frac{\angle ABC}{2}=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ . \]
2. В \(\triangle ABD\) стороны \(AB=AD\) (стороны ромба), треугольник равнобедренный с основанием \(BD\), значит, \[ \angle ABD=\angle ADB=60^\circ . \]
3. Третий угол треугольника: \[ \angle BAD=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ . \]
4. Все углы по \(60^\circ\), значит, \(\triangle ABD\) равносторонний, поэтому \[ AB=AD=BD=6\text{ см}. \] Сторона ромба \(a=6\) см.
5. Периметр: \[ P_{ABCD}=4a=4\cdot 6=24\text{ см}. \]

Решение (способ 2 — через диагонали, для проверки).

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \[ BO=\frac{BD}{2}=3\text{ см},\qquad \angle AOB=90^\circ . \] Угол \(\angle ABO=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ\), значит, в прямоугольном \(\triangle AOB\) угол \(\angle BAO=30^\circ\). Катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы: \[ BO=\frac{AB}{2}\;\Rightarrow\; AB=2\cdot BO=6\text{ см}. \] Тогда \(P=4\cdot 6=24\) см — совпадает.

Проверка: в ромбе \(\angle BAD=180^\circ-120^\circ=60^\circ\); при таком угле при вершине равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной стороне ромба, действительно равносторонний.

Ответ: \(P_{ABCD}=24\) см.

---

Часть 3. Памятка

Дано	Действие
Сторона ромба \(a\)	\(P=4a\)
Отношение соседних углов \(m:n\)	\(mx+nx=180^\circ\), затем найти углы
Угол ромба \(\alpha\)	Соседний \(=180^\circ-\alpha\); противоположный \(=\alpha\)
Диагональ из вершины + угол при ней	Диагональ — биссектриса угла; часто выходит равносторонний треугольник
Диагонали \(d_1,d_2\)	\(a=\sqrt{(d_1/2)^2+(d_2/2)^2}\) (из прямоугольного треугольника)

Уточни одно: в №12 я взял \(BD=6\) см, как в предыдущем решении. Если в условии другой отрезок или дана диагональ \(AC\), скажи — пересчитаю за один шаг.