Используя шаблон параболы y=x в кв построй график функции и объясни почему именно так построила

Фотографию как файл я прикрепить не могу, но вот схема для построения графика \(y=(x-2)^2+3\):

• вершина: \((2;3)\);
• точки: \((0;7),\ (1;4),\ (2;3),\ (3;4),\ (4;7)\);
• ветви направлены вверх, ось симметрии — прямая \(x=2\).

Схематично:

 y
 8 |
 7 | •               •
 6 |
 5 |
 4 |       •       •
 3 |           V
 2 |
 1 |
 0 +---|-----|-----|--- x
       0     2     4

Точка \(V\) — вершина. По этим точкам и плавной линии в форме параболы легко построить график в тетради.

Что это за тема

Есть базовая парабола-шаблон:

\[ y=x^2 \]

Её вершина — в точке \((0;0)\). Все остальные параболы из этой темы получаются из шаблона сдвигом по вертикали или по горизонтали. Плюс коэффициент \(a\) может растянуть или сжать параболу и перевернуть ветви. Главное — понимать, какое число за что отвечает.

---

1. Слагаемое \(n\): сдвиг вверх-вниз

\[ y=ax^2+n \]

Число \(n\) прибавляется к каждому значению \(y\). Значит, каждая точка шаблона поднимается на \(n\) единиц (если \(n>0\)) или опускается на \(|n|\) (если \(n<0\)).

• вершина переезжает из \((0;0)\) в \((0;n)\);
• ось симметрии остаётся \(x=0\);
• форма параболы не меняется, меняется только высота.

Пример из учебника: \(y=\dfrac{1}{2}x^2+3\).

\(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y=\frac12x^2\)	\(8\)	\(4{,}5\)	\(2\)	\(0{,}5\)	\(0\)	\(0{,}5\)	\(2\)
\(y=\frac12x^2+3\)	\(11\)	\(7{,}5\)	\(5\)	\(3{,}5\)	\(3\)	\(3{,}5\)	\(5\)

Ко второй строке просто прибавили \(3\) к каждой нижней строке. Вершина — \((0;3)\), ветви вверх, а сама парабола шире шаблона \(y=x^2\), потому что \(a=\frac12<1\).

---

2. Скобка \((x-m)\): сдвиг влево-вправо

\[ y=a(x-m)^2 \]

Здесь сдвиг спрятан внутри квадрата, и знак работает наоборот: если написано \(x-m\), парабола уходит вправо на \(m\). Если \(x+m\), значит \(x-(-m)\) — уходит влево на \(m\).

Почему? Сравни \(y=x^2\) и \(y=(x-2)^2\). Возьмём \(x=5\):

\[ y=(5-2)^2=3^2=9 \]

Но у шаблона значение \(9\) было при \(x=3\). То есть точка \((3;9)\) переместилась в \((5;9)\). Все точки сдвинулись вправо на \(2\). Вершина: \((0;0)\to(2;0)\).

• \(y=(x-3)^2\) — вершина \((3;0)\), сдвиг вправо на \(3\);
• \(y=(x+2)^2\) — вершина \((-2;0)\), сдвиг влево на \(2\);
• ось симметрии — вертикальная прямая \(x=m\).

---

3. Всё вместе

\[ y=a(x-m)^2+n \]

Тут просто складываются два сдвига:

• вершина стоит в точке \((m;n)\);
• ось симметрии — прямая \(x=m\);
• \(a>0\) — ветви вверх, \(a<0\) — вниз;
• \(|a|>1\) — парабола уже шаблона, \(0<|a|<1\) — шире.

Порядок сдвигов не важен: можно сначала вправо на \(m\), потом вверх на \(n\) — результат тот же.

---

4. Как быстро построить график

1. Найди вершину \((m;n)\) и отметь её.
2. Возьми по одной-две точки слева и справа от вершины: \(x=m\pm1\) даёт \(y=n+a\), а \(x=m\pm2\) даёт \(y=n+4a\).
3. Проведи плавную кривую через вершину и эти точки.

Пример: \(y=2(x+1)^2-4\).

Вершина: \(m=-1,\ n=-4\), то есть \((-1;-4)\), ветви вверх, парабола уже обычной.

\[ x=0:\ y=2\cdot1-4=-2;\qquad x=-2:\ y=-2 \] \[ x=1:\ y=2\cdot4-4=4;\qquad x=-3:\ y=4 \]

Точки \((-3;4),(-2;-2),(-1;-4),(0;-2),(1;4)\) — соединяем плавно. Проверка: при \(x=-1\) получилось \(-4\) — это вершина, всё верно.

---

5. Типичные ошибки

• Знак при \(x-m\). \((x-3)\) — это вправо на \(3\), а не влево. Минус в скобке «переворачивается».
• Путают, где сдвиг по \(y\), а где по \(x\). Число вне квадрата двигает вверх-вниз, число внутри скобки — влево-вправо.
• Забывают про \(a\). Оно не сдвигает параболу, а меняет её форму и направление ветвей.
• Строят по случайным точкам без вершины. Тогда легко потерять симметрию и получить кривой график.

---

Проверь себя

Определи вершину и направление ветвей:

1. \(y=(x-1)^2+2\) → вершина \((1;2)\), ветви вверх.
2. \(y=-\frac12(x+3)^2\) → вершина \((-3;0)\), ветви вниз, парабола шире шаблона.

Если хочешь, пришли конкретный пример из номера — разберу построение по шагам.

Понял, я перегрузил тебя формулами — давай совсем просто, на числах.

Одна идея: парабола — это трафарет. Форма не меняется, мы просто двигаем его по листу.

Сдвиг вверх. Возьми \(y=x^2\). Считаем:

\[ x=0 \to y=0,\quad x=1 \to y=1,\quad x=2 \to y=4 \]

Теперь \(y=x^2+3\). Считаем те же иксы:

\[ x=0 \to y=3,\quad x=1 \to y=4,\quad x=2 \to y=7 \]

Каждое число стало больше на \(3\). Значит, все точки поднялись на \(3\) клетки. Всё.

Сдвиг вправо. Теперь \(y=(x-2)^2\). Подставляю \(x=2\):

\[ y=(2-2)^2=0 \]

Ноль получился там, где раньше был при \(x=0\). То есть ноль «переехал» из \(0\) в \(2\) — вправо на \(2\). Поэтому минус в скобке двигает вправо.

Всё остальное — просто эти два сдвига вместе.

Скажи, где именно потерялся: в сдвиге вверх-вниз, в скобке \((x-2)\) или в числе перед скобкой? Начнём с этого места.