здесь не полные задачи сделай полные
Сверь числа и знаки с фото.
№ 1)
\(x^2-5x+6=0\) \(a=1, b=-5, c=6\) \(D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=1\) \(D>0\), 2 түбір
\(x^2-5x+4=0\) \(a=1, b=-5, c=4\) \(D=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=9\) \(D>0\), 2 түбір
\(2x^2+x-3=0\) \(a=2, b=1, c=-3\) \(D=1+24=25>0\) 2 түбір
\(3x^2-2x-1=0\) \(a=3, b=-2, c=-1\) \(D=4+12=16>0\) 2 түбір
\(3x^2-13x+14=0\) \(a=3, b=-13, c=14\) \(D=(-13)^2-4\cdot3\cdot14=169-168=1>0\) 2 түбір
\(5x^2-9x-2=0\) \(a=5, b=-9, c=-2\) \(D=(-9)^2-4\cdot5\cdot(-2)=81+40=121>0\) 2 түбір
\(y^2-y-20=0\) \(a=1, b=-1, c=-20\) \(D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-20)=81>0\) 2 түбір
\(16x^2-8x+1=0\) \(a=16, b=-8, c=1\) \(D=(-8)^2-4\cdot16\cdot1=0\) 1 шешім
Краткий ответ
В тетради посчитан только дискриминант и сделан вывод о числе корней — сами корни не найдены. Вот полные решения:
| № | Уравнение | \(D\) | \(\sqrt{D}\) | \(x_1\) | \(x_2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(x^2-5x+6=0\) | \(1\) | \(1\) | \(3\) | \(2\) |
| 2 | \(x^2-5x+4=0\) | \(9\) | \(3\) | \(4\) | \(1\) |
| 3 | \(2x^2+x-3=0\) | \(25\) | \(5\) | \(1\) | \(-1{,}5\) |
| 4 | \(3x^2-2x-1=0\) | \(16\) | \(4\) | \(1\) | \(-\frac{1}{3}\) |
| 5 | \(3x^2-13x+14=0\) | \(1\) | \(1\) | \(\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}\) | \(2\) |
| 6 | \(5x^2-9x-2=0\) | \(121\) | \(11\) | \(2\) | \(-0{,}2\) |
| 7 | \(y^2-y-20=0\) | \(81\) | \(9\) | \(5\) | \(-4\) |
| 8 | \(16x^2-8x+1=0\) | \(0\) | \(0\) | \(\frac{1}{4}=0{,}25\) | — (корень один) |
Как достроить решение до полного
Порядок действий всегда один и тот же:
- Выписать коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) (учёт знаков обязателен).
- Вычислить \(D=b^2-4ac\) — это в тетради уже сделано.
- По знаку \(D\) определить число корней: \(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
- Найти сами корни: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\qquad \text{при } D=0:\; x=\frac{-b}{2a}. \]
Пример 5 (дробный ответ). \(a=3,\ b=-13,\ c=14\), \(D=1\), \(\sqrt{D}=1\): \[ x_{1,2}=\frac{13\pm1}{6}\Rightarrow x_1=\frac{14}{6}=\frac{7}{3},\quad x_2=\frac{12}{6}=2. \]
Пример 6 (минус в коэффициенте \(c\)). \(a=5,\ b=-9,\ c=-2\), \(D=81-5\cdot4\cdot(-2)=81+40=121\): \[ x_{1,2}=\frac{9\pm11}{10}\Rightarrow x_1=\frac{20}{10}=2,\quad x_2=\frac{-2}{10}=-0{,}2. \]
Пример 8 (особый случай \(D=0\)). \(a=16,\ b=-8,\ c=1\), \(D=64-64=0\), поэтому корень один: \[ x=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}, \] и действительно \(16x^2-8x+1=(4x-1)^2\) — квадрат обращается в нуль только при \(x=\frac{1}{4}\).
Проверка
- № 1: по теореме Виета \(x_1+x_2=5\), \(x_1x_2=6\) — подходят \(3\) и \(2\). ✔
- № 2: сумма \(5\), произведение \(4\) — подходят \(4\) и \(1\). ✔
- № 6: сумма \(2+(-0{,}2)=1{,}8=\frac{9}{5}\), произведение \(2\cdot(-0{,}2)=-0{,}4=-\frac{2}{5}\). ✔
- № 7: \(y_1+y_2=1\), \(y_1y_2=-20\) — подходят \(5\) и \(-4\). ✔
Проверка по Виету — быстрый способ убедиться, что корни найдены верно: для \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), произведение \(q\) (удобно, когда \(a=1\), как в № 1, 2, 7).
Обсуждение
2 сообщенияне краткий а полный ответ
Полные решения
1) \(x^2-5x+6=0\)
Коэффициенты: \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \] \(D=1>0\), значит корней два, \(\sqrt{D}=1\).
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2} \] \[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2 \]
Ответ: \(2;\ 3\).
Проверка: \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\) ✔, \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\) ✔.
2) \(x^2-5x+4=0\)
Коэффициенты: \(a=1,\ b=-5,\ c=4\).
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=25-16=9,\qquad \sqrt{D}=3 \] \(D>0\) — два корня.
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm3}{2} \] \[ x_1=\frac{5+3}{2}=4,\qquad x_2=\frac{5-3}{2}=1 \]
Ответ: \(1;\ 4\).
Проверка по Виету: \(x_1+x_2=5=-(-5)\) ✔, \(x_1x_2=4\) ✔.
3) \(2x^2+x-3=0\)
Коэффициенты: \(a=2,\ b=1,\ c=-3\).
\[ D=1^2-4\cdot2\cdot(-3)=1+24=25,\qquad \sqrt{D}=5 \] \(D>0\) — два корня.
\[ x_{1,2}=\frac{-1\pm5}{4} \] \[ x_1=\frac{-1+5}{4}=\frac{4}{4}=1,\qquad x_2=\frac{-1-5}{4}=\frac{-6}{4}=-1{,}5 \]
Ответ: \(-1{,}5;\ 1\).
Проверка: \(2\cdot1^2+1-3=0\) ✔; \(2\cdot(-1{,}5)^2+(-1{,}5)-3=4{,}5-1{,}5-3=0\) ✔.
4) \(3x^2-2x-1=0\)
Коэффициенты: \(a=3,\ b=-2,\ c=-1\).
\[ D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16,\qquad \sqrt{D}=4 \]
\[ x_{1,2}=\frac{2\pm4}{6} \] \[ x_1=\frac{2+4}{6}=1,\qquad x_2=\frac{2-4}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3} \]
Ответ: \(-\frac{1}{3};\ 1\).
Проверка по Виету: сумма \(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=-\frac{b}{a}\) ✔, произведение \(-\frac{1}{3}=\frac{c}{a}\) ✔.
5) \(3x^2-13x+14=0\)
Коэффициенты: \(a=3,\ b=-13,\ c=14\).
\[ D=(-13)^2-4\cdot3\cdot14=169-168=1,\qquad \sqrt{D}=1 \]
\[ x_{1,2}=\frac{13\pm1}{6} \] \[ x_1=\frac{13+1}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3},\qquad x_2=\frac{13-1}{6}=\frac{12}{6}=2 \]
Ответ: \(2;\ 2\frac{1}{3}\).
Проверка: \(3\cdot2^2-13\cdot2+14=12-26+14=0\) ✔.
6) \(5x^2-9x-2=0\)
Коэффициенты: \(a=5,\ b=-9,\ c=-2\). Здесь \(c<0\), поэтому \(-4ac>0\) и \(D\) больше \(b^2\):
\[ D=(-9)^2-4\cdot5\cdot(-2)=81+40=121,\qquad \sqrt{D}=11 \]
\[ x_{1,2}=\frac{9\pm11}{10} \] \[ x_1=\frac{9+11}{10}=\frac{20}{10}=2,\qquad x_2=\frac{9-11}{10}=\frac{-2}{10}=-0{,}2 \]
Ответ: \(-0{,}2;\ 2\).
Проверка: \(5\cdot4-18-2=0\) ✔; \(5\cdot0{,}04+1{,}8-2=0{,}2+1{,}8-2=0\) ✔.
7) \(y^2-y-20=0\)
Здесь неизвестная обозначена буквой \(y\), это на решение не влияет.
Коэффициенты: \(a=1,\ b=-1,\ c=-20\).
\[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-20)=1+80=81,\qquad \sqrt{D}=9 \]
\[ y_{1,2}=\frac{1\pm9}{2} \] \[ y_1=\frac{1+9}{2}=5,\qquad y_2=\frac{1-9}{2}=-4 \]
Ответ: \(-4;\ 5\).
Проверка: \(25-5-20=0\) ✔; \(16+4-20=0\) ✔.
8) \(16x^2-8x+1=0\)
Коэффициенты: \(a=16,\ b=-8,\ c=1\).
\[ D=(-8)^2-4\cdot16\cdot1=64-64=0 \] При \(D=0\) корень один, и он находится по формуле \(x=\frac{-b}{2a}\):
\[ x=\frac{8}{2\cdot16}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}=0{,}25 \]
Ответ: \(0{,}25\) (единственный корень).
Объяснение: левая часть — полный квадрат, \(16x^2-8x+1=(4x-1)^2\), а квадрат равен нулю только при \(4x-1=0\).
Общий порядок решения любого квадратного уравнения
- Привести уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\) и выписать \(a,\ b,\ c\) вместе со знаками.
- Вычислить дискриминант \(D=b^2-4ac\).
- Определить число корней: \(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
- Найти корни: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\qquad \text{при } D=0:\quad x=\frac{-b}{2a}. \]
- Проверить результат подстановкой или теоремой Виета: для \(ax^2+bx+c=0\) сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), произведение — \(\frac{c}{a}\).
Если в каком-то номере в тетради стоят другие коэффициенты, чем здесь, пришли фото страницы — сверю и пересчитаю по вашим числам.
