начерти треугольник и все что нужно для задач

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 1

1. Начертите два неколлинеарных вектора $ \vec a $ и $ \vec b $. Постройте векторы, равные: а) $ \frac{1}{2}\vec a + 3\vec b $; б) $ 2\vec b - \vec a $.

2. На стороне $ BC $ ромба $ ABCD $ лежит точка $ K $ так, что $ BK = KC $, $ O $ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $ \overrightarrow{AO} $, $ \overrightarrow{AK} $, $ \overrightarrow{KD} $ через векторы $ \vec a = \overrightarrow{AB} $ и $ \vec b = \overrightarrow{AD} $.

3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.
4*. В треугольнике $ ABC $ точка $ O $ — точка пересечения медиан. Выразите вектор $ \overrightarrow{AO} $ через векторы $ \vec a = \overrightarrow{AB} $ и $ \vec b = \overrightarrow{AC} $.

Answer

Кратко: нужны четыре отдельных чертежа. Важно: в №4 точка $O$ стоит не посередине медианы, а на $\frac23$ медианы от вершины $A$.

1. Два неколлинеарных вектора

Нарисуй из одной точки $A$ векторы $\vec a$ и $\vec b$ так, чтобы они не лежали на одной прямой.

Для $\frac12\vec a+3\vec b$: отложи $\frac12\vec a$, из его конца отложи вектор $3\vec b$. Результат — стрелка от $A$ к концу $3\vec b$.

Для $2\vec b-\vec a$: отложи $2\vec b$, из его конца отложи $-\vec a$ — вектор $\vec a$ в противоположную сторону. Результат — стрелка от $A$ к концу $-\vec a$.

Если чертишь по клеткам, можно взять $\vec a=(2,0)$, $\vec b=(1,2)$. Тогда
$$
\frac12\vec a+3\vec b=(4,6),\qquad 2\vec b-\vec a=(0,4).
$$

2. Ромб

Нарисуй ромб $ABCD$, отметь $K$ — середину $BC$, $O$ — точку пересечения диагоналей. Отложи $\vec a=\overrightarrow{AB}$, $\vec b=\overrightarrow{AD}$.

$$
\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b),
$$
$$
\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b,
$$
$$
\overrightarrow{KD}=\frac12\vec b-\vec a.
$$

Почему: $BC=AD=\vec b$, $BK=\frac12\vec b$, а диагональ $AC=\vec a+\vec b$.

3. Равнобедренная трапеция

Нарисуй большее основание $AD$. Опусти высоту $BH$: пусть $AH=5$ см, $HD=12$ см. Тогда
$$
AD=5+12=17\text{ см}.
$$

Вторая высота даёт $DH_1=5$ см, поэтому
$$
BC=HH_1=12-5=7\text{ см}.
$$

Средняя линия:
$$
m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{17+7}{2}=12\text{ см}.
$$

Ответ: 12 см.

4. Треугольник и медианы

Нарисуй треугольник $ABC$. Отметь $M$ — середину $BC$, проведи медиану $AM$. Точку $O$ поставь на $AM$ так, чтобы
$$
AO:OM=2:1,
$$
то есть $O$ находится на расстоянии $\frac23$ медианы от $A$. Через $O$ проходят все три медианы.

Обозначь $\vec a=\overrightarrow{AB}$, $\vec b=\overrightarrow{AC}$. Тогда
$$
\overrightarrow{AM}=\frac12(\vec a+\vec b),
$$
$$
\overrightarrow{AO}=\frac23\overrightarrow{AM}=\frac13(\vec a+\vec b).
$$

Проверка: в №4 $AO=\frac23 AM$, а $OM=\frac13 AM$, поэтому $AO:OM=2:1$.