А6 б
Сверь числа и знаки с фото.
А6. В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AD\). Найдите \(BD\), если известно, что: б) \(AB = 6\), \(BC = 10\), \(AC = 8\).
Для пункта А6 б:
\[
BD=\frac{30}{7}=4\frac{2}{7}.
\]
Как решать
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
\[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. \]
Подставляем данные:
\[ \frac{BD}{DC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}. \]
При этом
\[ BD+DC=BC=10. \]
Пусть \(BD=3k\), \(DC=4k\). Тогда:
\[ 3k+4k=10, \] \[ 7k=10, \] \[ k=\frac{10}{7}. \]
Значит,
\[ BD=3k=3\cdot\frac{10}{7}=\frac{30}{7}=4\frac{2}{7}. \]
Проверка
\[ DC=4k=\frac{40}{7}, \] \[ BD+DC=\frac{30}{7}+\frac{40}{7}=\frac{70}{7}=10, \] \[ \frac{BD}{DC}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}=\frac{AB}{AC}. \]
Всё сходится.
Обсуждение
8 сообщенийРеши А7 а
Я готов решить, но в переписке нет условия пункта А7 а — видно только данные из А6 б. Пришли текст или фото задания А7 а.
А7 а)
\[
BC=28.
\]
Решение
Пусть \(BD=x\). Тогда по условию
\[
AB=2BD=2x.
\]
Биссектриса \(AD\) делит сторону \(BC\) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[ \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}. \]
Подставляем \(AB=2x\), \(BD=x\), \(CD=14\): \[ \frac{2x}{AC}=\frac{x}{14}. \] Сокращаем на \(x\): \[ \frac{2}{AC}=\frac{1}{14}, \] откуда \[ AC=28. \]
Далее в равнобедренном треугольнике \(ABC\) (по условию \(AB=BC\)) имеем: \[ BC=BD+CD=x+14. \] Но \(AB=BC\), значит \[ 2x=x+14, \] \[ x=14. \] Тогда \[ BC=14+14=28. \]
Проверка:
\[
AB=28,\quad AC=28,\quad BC=28,\quad BD=14,\quad CD=14.
\]
\[
\frac{AB}{AC}=\frac{28}{28}=1,\qquad
\frac{BD}{CD}=\frac{14}{14}=1.
\]
Всё сходится.
Ответ: \(BC=28\).
реши б
Пришли, пожалуйста, условие или фото пункта А7 б — в переписке есть только данные пункта А и их не хватает для решения б.
А7 б)
\[
CD=3.
\]
Решение
По свойству биссектрисы треугольника: \[ \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}. \]
Пусть \(BD=x\). Тогда по условию \[ AB=5BD=5x. \] Подставляем \(AC=15\): \[ \frac{x}{CD}=\frac{5x}{15}. \] Сокращаем на \(x\) (\(x>0\)): \[ \frac{1}{CD}=\frac{1}{3}, \] откуда \[ CD=3. \]
Проверка:
\[
\frac{BD}{CD}=\frac{x}{3},\qquad
\frac{AB}{AC}=\frac{5x}{15}=\frac{x}{3}.
\]
Пропорция выполняется при любом \(x>0\), значит, \(CD=3\).
Ответ: \(CD=3\).
Небольшое уточнение по А7 а: в условии на фото данных недостаточно, чтобы найти \(BC\). Из пропорции биссектрисы получается только \(AC=28\), а \(BC\) может быть разным. В прошлом ответе я ошибочно добавил условие \(AB=BC\), которого в задаче нет.
