реши номера на фото

Question

реши номера на фото

Расшифровка фото нейросетью:
КР-11 кл
Вариант № 3

1. Найдите общий вид первообразной для функции:
$f(x)=2x^3-5$

2. Найти первообразную для $f(x)=-3\cos\frac{x}{2}$, если её график проходит через точку $M(\frac{\pi}{3};0)$

3. Вычислить: $\int_{-2}^{1}(5-4x)\,dx$

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: $y=0$, $x=2$ и $y=x^3+1$

5. На рисунке график функции $y=f(x)$. $F(x)=-\frac{1}{4}x^3-6x^2-\frac{189}{4}x-1$ — одна из первообразных для функции $f(x)$. Найти площадь закрашенной фигуры.
[Рисунок: оси координат; на оси $x$ отмечены $-9$, $-7$, $0$; над осью $x$ между $x=-9$ и $x=-7$ закрашена область под графиком $y=f(x)$.]

Answer

Я решил все номера. Сначала краткие ответы, затем — ключевые шаги.

Кратко:

1. $F(x)=\frac{x^4}{2}-5x+C$.

2. $F(x)=-6\sin\frac{x}{2}+3$.

3. $21$.

4. $S=\frac{27}{4}=6{,}75$.

5. $S=1$.

Общая идея: первообразная $F$ — это функция, у которой $F'(x)=f(x)$; все первообразные отличаются на постоянную $C$. Определённый интеграл считаем по формуле Ньютона—Лейбница:
$$
\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).
$$
Площадь под графиком $f$ над осью $x$ — это интеграл от $f$ по нужному отрезку.

1. Общий вид первообразной.
Пользуемся правилом $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$:
$$
F(x)=\int(2x^3-5)\,dx=2\cdot\frac{x^4}{4}-5x+C=\frac{x^4}{2}-5x+C.
$$
Проверка: $F'(x)=2x^3-5$ — верно.

2. Первообразная через точку.
Сначала находим общий вид:
$$
F(x)=\int -3\cos\frac{x}{2}\,dx=-3\cdot2\sin\frac{x}{2}+C=-6\sin\frac{x}{2}+C.
$$
Подставляем точку $M\left(\frac{\pi}{3};0\right)$:
$$
0=-6\sin\frac{\pi}{6}+C=-6\cdot\frac12+C=-3+C,
$$
откуда $C=3$. Значит,
$$
F(x)=-6\sin\frac{x}{2}+3.
$$

3. Определённый интеграл.
$$
\int_{-2}^{1}(5-4x)\,dx=\left[5x-2x^2\right]_{-2}^{1}.
$$
Подставляем пределы:
$$
(5-2)-(-10-8)=3-(-18)=21.
$$

4. Площадь фигуры.
Кривая $y=x^3+1$ пересекает $y=0$ при $x=-1$. На отрезке $[-1;2]$ она выше оси $x$, поэтому площадь:
$$
S=\int_{-1}^{2}(x^3+1)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}+x\right]_{-1}^{2}.
$$
Считаем:
$$
S=(4+2)-\left(\frac14-1\right)=6+\frac34=\frac{27}{4}=6{,}75.
$$

5. Площадь по графику и первообразной.
По графику закрашена область под $y=f(x)$ от $-9$ до $-7$, причём $f(-9)=f(-7)=0$. Так как $F$ — первообразная, то $f(x)=F'(x)$:
$$
F'(x)=-\frac34x^2-12x-\frac{189}{4}
=-\frac34(x^2+16x+63)
=-\frac34(x+9)(x+7).
$$
На $[-9;-7]$ функция $f$ неотрицательна, поэтому
$$
S=\int_{-9}^{-7}f(x)\,dx=F(-7)-F(-9).
$$
Вычисляем:
$$
F(-7)=\frac{343}{4}-294+\frac{1323}{4}-1=121{,}5,
$$
$$
F(-9)=\frac{729}{4}-486+\frac{1701}{4}-1=120{,}5.
$$
Значит,
$$
S=121{,}5-120{,}5=1.
$$

Проверка для №5: это параболический сегмент с основанием $2$ и высотой $0{,}75$, его площадь $\frac23\cdot2\cdot0{,}75=1$. Всё сходится.