2 Верное или нет утверждение: Диагонали квадрата делят его углы пополам. 7 Найдите площадь фигуры по клеткам. 12 Докажите, что диагональ квадрата является его биссектрисой.
Реши
Сверь числа и знаки с фото.
2 Верное или нет утверждение: Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Ответ: ___
7 Найдите площадь фигуры по клеткам. [Рисунок: на клетчатом поле синим закрашена многоугольная фигура; контур проходит по линиям сетки.] Ответ: ___
12 Докажите, что диагональ квадрата является его биссектрисой. [Рисунок: квадрат ABCD; B — верхняя левая вершина, C — верхняя правая, A — нижняя левая, D — нижняя правая; проведены диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке O.] Ответ: ___
Кратко: 2 — верно; 7 — 28; 12 — доказательство ниже.
2. Верно.
В квадрате каждая диагональ делит пополам углы при тех вершинах, которые она соединяет. Например, диагональ \(AC\) делит углы \(A\) и \(C\) на два угла по \(45^\circ\).
7. \(S=28\) клеток (если площадь одной клетки равна 1, то \(28\) кв. ед.).
Считаем по частям:
- верхняя часть: \(3\cdot2=6\);
- средняя часть: \(4\cdot5=20\);
- нижний выступ справа: \(1\cdot2=2\).
\[ S=6+20+2=28 \]
Проверка по рядам: \(3+3+4+4+4+4+4+1+1=28\).
12. Доказательство.
Пусть \(ABCD\) — квадрат, \(AC\) — его диагональ. Докажем, что \(AC\) делит пополам углы \(A\) и \(C\).
У квадрата все стороны равны: \[ AB=BC=CD=AD. \]
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\): \[ AB=AD,\quad BC=DC,\quad AC\text{ — общая сторона.} \] Значит, треугольники равны по трём сторонам.
В равных треугольниках соответствующие углы равны: \[ \angle BAC=\angle CAD. \] То есть диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам.
Аналогично: \[ \angle BCA=\angle ACD, \] поэтому \(AC\) делит пополам и угол \(C\).
Для второй диагонали \(BD\) рассуждение такое же: она делит пополам углы \(B\) и \(D\). Следовательно, каждая диагональ квадрата является биссектрисой его углов. Ч.т.д.
Обсуждение
2 сообщенияРезвëрнутое
Ниже — развёрнуто по каждому пункту.
2. Верно ли, что диагональ квадрата делит его углы пополам?
Ответ: верно.
Пусть \(ABCD\) — квадрат, а \(AC\) — его диагональ.
У квадрата все стороны равны: \[ AB=BC=CD=AD. \]
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\).
У них: \[ AB=AD,\qquad BC=DC,\qquad AC \text{ — общая сторона.} \]
Значит, треугольники равны по трём сторонам: \[ \triangle ABC=\triangle ADC. \]
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому: \[ \angle BAC=\angle CAD, \] \[ \angle BCA=\angle ACD. \]
То есть диагональ \(AC\) делит угол \(A\) и угол \(C\) пополам.
Каждый угол квадрата равен \(90^\circ\), значит: \[ \angle BAC=\angle CAD=45^\circ, \] \[ \angle BCA=\angle ACD=45^\circ. \]
Аналогично доказывается, что вторая диагональ \(BD\) делит пополам углы \(B\) и \(D\).
Вывод: диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. Каждая диагональ делит пополам те углы, через вершины которых она проходит.
Для первой диагонали это \(A\) и \(C\), для второй — \(B\) и \(D\).
7. Площадь фигуры
Фигуру удобно разбить на прямоугольники и найти площадь каждого.
Площадь прямоугольника: \[ S=a\cdot b. \]
По разбиению фигуры:
Верхняя часть: \[ S_1=3\cdot 2=6. \]
Средняя часть: \[ S_2=4\cdot 5=20. \]
Нижний выступ справа: \[ S_3=1\cdot 2=2. \]
Общая площадь: \[ S=S_1+S_2+S_3=6+20+2=28. \]
То есть фигура состоит из \(28\) клеток.
Проверка по рядам: \[ 3+3+4+4+4+4+4+1+1=28. \]
Ответ: \(28\) клеток.
Если сторона одной клетки равна \(1\), то площадь равна \(28\) квадратным единицам.
Если сторона клетки равна \(a\), то:
\[
S=28a^2.
\]
12. Доказательство
Нужно доказать, что диагональ квадрата делит его углы пополам.
Пусть \(ABCD\) — квадрат, а \(AC\) — его диагональ. По определению квадрата: \[ AB=BC=CD=AD. \]
Рассмотрим треугольники: \[ \triangle ABC \quad \text{и} \quad \triangle ADC. \]
У них: \[ AB=AD, \] \[ BC=DC, \] \[ AC \text{ — общая сторона.} \]
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников: \[ \triangle ABC=\triangle ADC. \]
В равных треугольниках соответствующие углы равны. Значит: \[ \angle BAC=\angle CAD. \]
А это и означает, что диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам.
Также: \[ \angle BCA=\angle ACD, \] поэтому \(AC\) делит пополам и угол \(C\).
Для второй диагонали \(BD\) рассуждение完全相同: она делит пополам углы \(B\) и \(D\).
Каждый угол квадрата равен \(90^\circ\), поэтому каждая из половин равна: \[ \frac{90^\circ}{2}=45^\circ. \]
Вывод: каждая диагональ квадрата является биссектрисой двух его углов, а вместе обе диагонали делят пополам все четыре угла квадрата.
Что и требовалось доказать.
