Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_{1}=2,\; x_{2}=3\).

Небольшое уточнение: задание математическое, хотя предмет указан как история, — решаю его как уравнение.

Ключевая идея

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому квадратный трёхчлен выгодно разложить на скобки.

Способ 1. Разложение на множители

Ищем два числа, у которых сумма равна \(5\), а произведение \(6\) (это следует из \(x^{2}-5x+6\): коэффициент при \(x\) с минусом, свободный член как есть). Подходят \(2\) и \(3\): \[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3). \] Значит: \[ (x-2)(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x-2=0 \text{ или } x-3=0, \] то есть \(x=2\) или \(x=3\).

Способ 2. Теорема Виета

Для уравнения \(x^{2}+px+q=0\) корни удовлетворяют \(x_{1}+x_{2}=-p\), \(x_{1}x_{2}=q\). Здесь \(p=-5,\ q=6\): \[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}x_{2}=6 \;\Rightarrow\; 2 \text{ и } 3. \]

Способ 3. Дискриминант (работает всегда)

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0, \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}, \] откуда \(x_{1}=\frac{6}{2}=3\), \(x_{2}=\frac{4}{2}=2\).

Проверка

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0,\qquad 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0. \] Оба корня подходят.

Принцип на будущее: если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один корень, \(D<0\) — корней нет; а при целых корнях быстрее всего работает Виет или подбор множителей.