Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через указанные точки.

Кратко.

1. Сечение — четырёхугольник \(E F Q H\), где \(S=EF\cap AC\), а \(Q=SH\cap BC\).
2. Сечение — четырёхугольник \(P E F H\), где \(S=FH\cap AB\), а \(P=SE\cap AM\).

Как это строится. Секущая плоскость пересекает каждую грань по отрезку. Поэтому точки, лежащие в одной грани, надо соединять. Если в грани пока известна только одна точка сечения, сначала находят след плоскости на плоскости основания.

1) Тетраэдр \(KABC\)

• \(E\) и \(F\) лежат в грани \(KAC\), поэтому \(EF\) — сторона сечения.
• Продолжим прямую \(EF\) до пересечения с прямой \(AC\) в точке \(S\). Точка \(S\) вспомогательная.
• \(S\) и \(H\) лежат в плоскости основания \(ABC\). Проводим \(SH\) и находим \(Q=SH\cap BC\).
• Соединяем:
  • \(Q\) с \(F\) — в грани \(KBC\);
  • \(Q\) с \(H\) — в основании \(ABC\);
  • \(E\) с \(H\) — в грани \(AKB\).

Получается сечение
\[ E-F-Q-H. \]

Проверка: \(EF\) лежит в грани \(KAC\), \(FQ\) — в \(KBC\), \(QH\) — в \(ABC\), \(HE\) — в \(AKB\).

2) Пирамида \(MABC\)

• \(E\) и \(F\) лежат в грани \(MBC\), поэтому проводим \(EF\).
• \(F\) и \(H\) лежат в плоскости основания \(ABC\); проводим \(FH\). Продолжаем \(FH\) до пересечения с прямой \(AB\) в точке \(S\).
• \(S\) и \(E\) лежат в грани \(MAB\). Проводим \(SE\); она пересекает ребро \(AM\) в точке \(P\).
• Соединяем \(P\) с \(E\) и с \(H\).

Получается сечение
\[ P-E-F-H. \]

Проверка: \(PE\) лежит в грани \(MAB\), \(EF\) — в \(MBC\), \(FH\) — в \(ABC\), \(HP\) — в \(MAC\).

Точки \(S\) в обоих пунктах вспомогательные: в сечение они не входят.